Symmetrischer Binärkanal < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein symmetrischer Binärkanal habe die Fehlerwahrscheinlichkeit $p$. Berechnen Sie den Erwartungswert $E[n]$ für die Anzahl der Fehler in einem Block mit $n$ Binärstellen!
Hinweis: Die binomische Gleichung lautet
[mm](x + y)^n = \sum_{i = 0}^{n} \vektor{n \\ i} \cdot x^i \cdot y^{n-1}[/mm]. |
Hallo zusammen,
ich verstehe offenbar die Aufgabe nicht genau, weil meiner Ansicht nach sollte für den Erwartungswert folgendes gelten:
[mm]E[n] = n \cdot p[/mm].
Ich vermute jedoch, dass das falsch ist, oder?
Viele Grüße
schneidross
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo schneidross,
nur vermuten gilt hier nicht, zeigen musst Du schon Deine Behauptung.
Der Tipp mit der Summenformel gibt doch schon den Ansatz. Wenn in einem Block von n Binärdaten k fehlerhaft sind(Auftretenswahrscheinlichkeit p), dann existieren ja wohl in diesem Block n-k Daten, die richtig sind (Auftretenswahrscheinlichkeit 1-p).
So, jetzt bist Du dran.
Viele Grüße,
Infinit
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Ok.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bit fehlerhaft übertragen wurde beträgt $p$.
Also liegt der Erwartungswert bei einem gesendeten Bit, dass dieses auch falsch übertragen wurde bei $p$.
Bei n übertragenen Bits liegt daher der Erwartungswert bei $n [mm] \cdot [/mm] p$.
Beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bit falsch übertragen wird beispielsweise $p = 0,25$ und nehmen wir an, dass $n = 1000$ Bits übertragen werden, dann liegt doch der Erwartungswert bei $1000 [mm] \cdot [/mm] 0,25 = 250$ fehlerhaft übertragener Bits, oder?
Das ist die Herangehensweise, die mich zum Ergebnis
[mm]E[n] = n \cdot p[/mm]
führt.
Offenbar ist das jedoch falsch, weil ich irgendetwas falsch verstanden habe bzw. einen Zusammenhang falsch interpretiere.
Was die Formeln angeht interpretiere ich sie wie folgt:
[mm]P_1 = \vektor{n \\ k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}[/mm]
ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $n$ gesendeten Bits genau $k$ Bits fehlerhaft übertragen wurden und
[mm]P_2 = \sum_{m = 0}^{k} \vektor{n \\ m} \cdot p^m \cdot (1-p)^{n-m}[/mm]
ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $n$ gesendeten Bits $k$ oder weniger Bits fehlerhaft übertragen wurden.
Da jedoch nach dem Erwartungswert gefragt ist, habe ich keine Idee wieso mir die Formeln (insbesondere die zweite Formel) dabei hilfreich sein sollten.
Auch Wikipedia behauptet, dass der Erwartungswert bei der Binomialverteilung gleich $n [mm] \cdot [/mm] p$ ist:
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung#Erwartungswert
Wo liegt mein Fehler?
Vielen Dank!
schneidross
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Di 02.04.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo schneidross,
das Ergebnis ist ja okay, Du hast es aber einfach angegeben ohne irgendeinen Rechenweg. Darauf wollte ich nur aufmerksam machen mit meinem Beitrag, denn in der Aufgabe war nach einer Berechnung gefragt, diese sollte man nachvollziehen können.
Mehrere Rechenwege sind ja bei Wikipedia angegeben, als "offzielle Lösung" solltest Du wenigstens denjenigen, der über die binomische Formel geht, hinschreiben. Die richtigen Terme dafür hast Du ja in Deinem letzten Thread identifiziert.
Viele Grüße,
Infinit
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