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Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:
Ich soll eine invertierbare Matrix S finden mit [mm] S^{t}*A*S [/mm] diagonal.
Außerdem soll ich die Signatur von A bestimmen.
A ist:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1}
[/mm]
Ich weiß, dass man was mit dem symmetrischen Gauss Algorithmus machen soll. Aber ich habe nirgendwo gefunden, wie der funktioniert. Eine allgemeine Antwort hierzu bzw. einen Link zu einer Erklärung würde mir auch genügen.
Vielen Dank im Vorraus...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi!
Also wie ich gelernt habe, so eine Aufgabe zu lösen ist:
1. Berechne das charakteristische Polynom von A (Also det (Ix - A) ) und bestimme dessen Nullstellen
2. Die Nullstellen sind dann genau die Eigenwerte von A und mit denen kann man dann die Eigenvektoren ausrechnen. (Eigenvektoren sind ja die Vektoren v, für die gilt: Av = av, wobei A die Matrix ist und a einer der Eigenwerte sein soll.
3. Ja, und damit ist dann auch schon S bestimmt: In den Spalten von S stehen nämlich die drei Eigenvektoren.
Zu "symmetrischer Gauß Algorithmus" kann ich nur schreiben, dass der Gauß Algorithmus allgemein eine Matrix M auf Zeilenstufenform bringt (d.h. dass alle Einträge der Matrix unterhalb der Hauptdiagonalen Null sind) indem M mit Elementarmatrizen multipliziert wird.
Was jetzt ein symmetrischer Gauß Algorithmus genau ist, weiß ich leider auch nicht.
Ich hoffe, das hilft dir!
Mary
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