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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Mo 21.05.2007 | | Autor: | Konsi |
Hallo
Gegeben ist ein System anhand einer ODE (=gewöhnliche Differentialgleichung) erster Ordnung:
dx/dt = Ax+Bu
y = Cx
wobei die Matrizen A,B und C bekannt sind.
x ist der Zustandsvektor, u das Eingangssignal und y das Ausgangssignal.
Gibt es eine möglichkeit vom Ausgang y auf den Eingang u zu kommen?
D.h wenn ich das Ausgangssignal y messen kann, ist es dann möglich mein Eingangssignal zu berechnen?
Kennt jemand ein Verfahren, evtl aus der Regelungstechnik, um dieses Problem zu lösen?
Das System soll so einfach wie möglich sein, d.h. linear, kontrollierbar, stabil
etc.
Schonmal Danke
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Prinzipiell müsste es gehen, wenn die Matrizen invertierbar sind. Du könntest entweder y für x in die ODE substituieren oder die ODE lösen und dann [mm]x=C^{-1}y[/mm] setzen. Bleibt noch, das Ergebnis dann nach u aufzulösen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Di 22.05.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo,
das ist ein Bereich aus der Mehrgrößenregelung. Stichworte sind hier: ![[]](/images/popup.gif) Beobachter; Steuerbarkeit
Fachlich findest du Grundlagen in Reuter/Zacher; Otto Föllinger; J. Lunze oder Unbehauen.
> Gegeben ist ein System anhand einer ODE (=gewöhnliche
> Differentialgleichung) erster Ordnung:
> dx/dt = Ax+Bu
> y = Cx
>
> wobei die Matrizen A,B und C bekannt sind.
> x ist der Zustandsvektor, u das Eingangssignal und y das
> Ausgangssignal.
> Gibt es eine möglichkeit vom Ausgang y auf den Eingang u
> zu kommen?
ja, wenn das System steuerbar ist
> D.h wenn ich das Ausgangssignal y messen kann, ist es dann
> möglich mein Eingangssignal zu berechnen?
Das kommt darauf an, ob es sich um ein lineares System handelt
> Kennt jemand ein Verfahren, evtl aus der Regelungstechnik,
> um dieses Problem zu lösen?
Berechne die Steuerbarkeitsmatrizen
> Das System soll so einfach wie möglich sein, d.h. linear,
> kontrollierbar, stabil
> etc.
stabil ist das System wenn die Pole in der linken s-Halbebene liegen (charakteristisches Polynom bestimmen)
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:27 Do 24.05.2007 | | Autor: | Konsi |
Ich habe nun die Steuerbarkeits bzw die Beobachtbarkeitsmatrizen berechnet. Dadurch weiss ich nun dass dieses System kontrollierbar und beobachtbar ist.
Habe noch vergessen zu schreiben das es sich um ein lineares System handelt.
Wie kann ich nun anhand dieser Beobachtbarkeitsmatrix auf den Eingang u bzw wahrscheinlich auf den Zustand x zurückrechnen?
Ich weiss nur das ein Beobachter existiert, weiss aber nicht wie man ihn konkret berrechnet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 Do 24.05.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo Konsi,
also rückwärts gerechnet habe ich noch nie, aber wenn alle Matrizen regulär sind, dann müsstest du doch nach u auflösen können und das Gleichungssystem lösen. Ich gehe davon aus, dass zudem D=0 ist, oder?
Kannst ja deine Aufgabe mal hier reinstellen 
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Do 24.05.2007 | | Autor: | Konsi |
Also ich habe das lineare system: dx/dt=A*x(t)+B*u(t) , y(t)=C*x(t)
u ist der Eingangsvektor, welcher zu bestimmen ist
y ist der gemessene Ausgangswert
x ist der Zustand
die Matrizen haben die Form:
A= 0 1.000 0 0
-0.025 -0.004 0.025 0.004
0 0 0 1.000
0.375 0.060 -4.375 -0.060
B = 0
0
0
4
C = 1 0 0 0
0 1 0 0
Nun wird der Wert y gemessen, und davon soll nun der Vektor u bestimmt werden. Für y kann man z.B den Wert 20 annehmen. (eigentlich ist y eine physikalische Größe und wird mit 20Hz angegeben.)
Wie kann ich nun u berechnen?
Schonmal Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:30 Fr 25.05.2007 | | Autor: | Herby |
Moin Konsi,
allgemein für Y(s) gilt:
[mm] Y(s)=C(sI-A)^{-1}BU(s)+DU(s) [/mm] und mit D=0 (wie vermutet) folgt:
[mm] Y(s)=C(sI-A)^{-1}BU(s)
[/mm]
umgestellt nach U(s)
[mm] U(s)=[C(sI-A)^{-1}B]^{-1}Y(s)
[/mm]
danach Rücktransformation - ob's klappt habe ich wie gesagt noch nicht ausprobiert
Noch etwas zu der Steuer- und Beobachtermatrix. Mit diesen kann man nur prüfen, ob eine Steuerungsmöglichkeit vorliegt. Man erlangt daraus aber keine Erkenntnis über das tatsächliche Verhalten. Ein Beobachter wird genommen, wenn man den Zustand des Systems nicht direkt abgreifen kann. Aus der Differenz der Werte des nachgebildeten Systems und dem System selbst, kann man dann das Systemverhalten errechnen.
Der Beobachter sagt dir aber nicht: Aufgrund dieses Zustandes muss jenes Eingangssignal vorliegen!
Sondern: Wenn jenes Eingangssignal vorliegt, dann bekommst du diesen Zustand!
Liebe Grüße
Herby
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