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Forum "Differentialgleichungen" - System von DGL der Ordnung 2
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System von DGL der Ordnung 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:21 So 20.03.2011
Autor: schneidross

Aufgabe
Gegeben sei folgendes System von Differentialgleichungen der Ordnung 2:

[mm] y_{1}''(x) [/mm] = [mm] y_{1}'(x)x [/mm] + [mm] y_{2}(x), [/mm]
[mm] y_{2}''(x) [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] 3y_{2}(x) [/mm] - 2.

Transformieren Sie das System 2. Ordnung in ein System 1. Ordnung und führen Sie einen Schritt des Eulerverfahrens mit Startwerten [mm] y_{1}(1) [/mm] = 1, [mm] y_{1}'(1) [/mm] = 2, [mm] y_{2}(1) [/mm] = -1, [mm] y_{2}'(1) [/mm] = 1 und Schrittweite h = 1 aus.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo zusammen,

bei dieser Altklausuraufgabe wissen wir nicht ob wir die beiden Gleichungen gemeinsam betrachten müssen, oder ob wir sie auch getrennt betrachten können, indem wir zum Beispiel in der 1. Gleichung [mm] y_{2}(x) [/mm] durch [mm] y_{1}'(x) [/mm] ersetzen.

Zur ersten Teilaufgabe haben wir auch schon eine Lösung gefunden (für den Fall, dass die getrennte Betrachtung korrekt ist):

Wir haben bei der getrennten Betrachtung dann bei jeder Geichung die Indices weggelassen um Verwirrung zu vermeiden.

Für die erste Gleichung:
y'' = y'(x)x + y'(x)

[mm] y_{0}'(x) [/mm] = [mm] y_{1}(x) [/mm]
[mm] y_{1}'(x) [/mm] = [mm] y_{0}'(x) [/mm] + [mm] y_{0}'(x) [/mm]

Für die zweite Gleichung:
y''(x) = [mm] x^{2} [/mm] + 3y(x) - 2

[mm] y_{0}'(x) [/mm] = [mm] y_{1}(x) [/mm]
[mm] y_{1}'(x) [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] 3y_{0}(x) [/mm] - 2

Ist das nun soweit korrekt im Sinne der Tranformation in ein System 1. Ordnung?

Danke schonmal für eure Bemühungen.

        
Bezug
System von DGL der Ordnung 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 So 20.03.2011
Autor: MathePower

Hallo schneidross,


[willkommenmr]


> Gegeben sei folgendes System von Differentialgleichungen
> der Ordnung 2:
>  
> [mm]y_{1}''(x)[/mm] = [mm]y_{1}'(x)x[/mm] + [mm]y_{2}(x),[/mm]
>  [mm]y_{2}''(x)[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]3y_{2}(x)[/mm] - 2.
>  
> Transformieren Sie das System 2. Ordnung in ein System 1.
> Ordnung und führen Sie einen Schritt des Eulerverfahrens
> mit Startwerten [mm]y_{1}(1)[/mm] = 1, [mm]y_{1}'(1)[/mm] = 2, [mm]y_{2}(1)[/mm] = -1,
> [mm]y_{2}'(1)[/mm] = 1 und Schrittweite h = 1 aus.
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Hallo zusammen,
>  
> bei dieser Altklausuraufgabe wissen wir nicht ob wir die
> beiden Gleichungen gemeinsam betrachten müssen, oder ob
> wir sie auch getrennt betrachten können, indem wir zum


Die beiden Gleichungen sind gemeinsam zu betrachten.


> Beispiel in der 1. Gleichung [mm]y_{2}(x)[/mm] durch [mm]y_{1}'(x)[/mm]
> ersetzen.
>  
> Zur ersten Teilaufgabe haben wir auch schon eine Lösung
> gefunden (für den Fall, dass die getrennte Betrachtung
> korrekt ist):
>  
> Wir haben bei der getrennten Betrachtung dann bei jeder
> Geichung die Indices weggelassen um Verwirrung zu
> vermeiden.
>  
> Für die erste Gleichung:
>  y'' = y'(x)x + y'(x)
>  
> [mm]y_{0}'(x)[/mm] = [mm]y_{1}(x)[/mm]
>  [mm]y_{1}'(x)[/mm] = [mm]y_{0}'(x)[/mm] + [mm]y_{0}'(x)[/mm]


Hier muss stehen:

[mm]y_{1}'(x)= \blue{x}*y_{\red{1}}(x) + y_{\red{1}}(x)[/mm]


>  
> Für die zweite Gleichung:
>  y''(x) = [mm]x^{2}[/mm] + 3y(x) - 2
>  
> [mm]y_{0}'(x)[/mm] = [mm]y_{1}(x)[/mm]
>  [mm]y_{1}'(x)[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]3y_{0}(x)[/mm] - 2
>  
> Ist das nun soweit korrekt im Sinne der Tranformation in
> ein System 1. Ordnung?


Wenn diese zwei Gleichungen jeweils für sich betrachtet werden,
dann stimmt das bis auf die angebrachten Korrekturen.


>  
> Danke schonmal für eure Bemühungen.



Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
System von DGL der Ordnung 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:10 So 20.03.2011
Autor: schneidross

Aufgabe
Gegeben sei folgendes System von Differentialgleichungen der Ordnung 2:

[mm] y_{1}''(x) [/mm] = [mm] y_{1}'(x)x [/mm] + [mm] y_{2}(x), [/mm]
[mm] y_{2}''(x) [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] 3y_{2}(x) [/mm] - 2.

Transformieren Sie das System 2. Ordnung in ein System 1. Ordnung und führen Sie einen Schritt des Eulerverfahrens mit Startwerten

[mm] y_{1}(1) [/mm] = 1, [mm] y_{1}'(1) [/mm] = 2, [mm] y_{2}(1) [/mm] = -1, [mm] y_{2}'(1) [/mm] = 1 und Schrittweite h = 1 aus.

Hallo MathePower,

vielen Dank für deine schnelle Antwort! Das von dir blau hervorgehobene x war leider ein Tippfehler meinerseits.

Ok, da ich die Gleichungen also gemeinsam betrachten muss stellt sich mir nun die Frage, wie ich das anstellen soll. Soll ich die zweite Gleichung vielleicht nach [mm] y_{2}(x) [/mm] umformen und in die erste Gleichung einsetzen?

Eine andere Idee fällt mir dazu leider nicht ein.

Viele Grüße,
schneidross

Bezug
                        
Bezug
System von DGL der Ordnung 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 So 20.03.2011
Autor: MathePower

Hallo schneidross,

> Gegeben sei folgendes System von Differentialgleichungen
> der Ordnung 2:
>  
> [mm]y_{1}''(x)[/mm] = [mm]y_{1}'(x)x[/mm] + [mm]y_{2}(x),[/mm]
>  [mm]y_{2}''(x)[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]3y_{2}(x)[/mm] - 2.
>  
> Transformieren Sie das System 2. Ordnung in ein System 1.
> Ordnung und führen Sie einen Schritt des Eulerverfahrens
> mit Startwerten
>
> [mm]y_{1}(1)[/mm] = 1, [mm]y_{1}'(1)[/mm] = 2, [mm]y_{2}(1)[/mm] = -1, [mm]y_{2}'(1)[/mm] = 1
> und Schrittweite h = 1 aus.
>  Hallo MathePower,
>  
> vielen Dank für deine schnelle Antwort! Das von dir blau
> hervorgehobene x war leider ein Tippfehler meinerseits.
>  
> Ok, da ich die Gleichungen also gemeinsam betrachten muss
> stellt sich mir nun die Frage, wie ich das anstellen soll.
> Soll ich die zweite Gleichung vielleicht nach [mm]y_{2}(x)[/mm]
> umformen und in die erste Gleichung einsetzen?


Mit Umformen hat das nichts zu tun.

Wähle hier z.B.

[mm]u_{0}=y_{1},u_{1}=y_{1}'=u_{0}'[/mm]

[mm]v_{0}=y_{1},v_{1}=y_{2}'=v_{0}'[/mm]

Dann kannst Du das obige System von DGLn 2. Ordnung
in ein System von DGLn 1. Ordnung umschreiben.


>  
> Eine andere Idee fällt mir dazu leider nicht ein.
>  
> Viele Grüße,
>  schneidross


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
System von DGL der Ordnung 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:58 So 20.03.2011
Autor: schneidross

Hallo MathePower

> Hallo schneidross,
>  
> > Gegeben sei folgendes System von Differentialgleichungen
> > der Ordnung 2:
>  >  
> > [mm]y_{1}''(x)[/mm] = [mm]y_{1}'(x)x[/mm] + [mm]y_{2}(x),[/mm]
>  >  [mm]y_{2}''(x)[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]3y_{2}(x)[/mm] - 2.
>  >  
> > Transformieren Sie das System 2. Ordnung in ein System 1.
> > Ordnung und führen Sie einen Schritt des Eulerverfahrens
> > mit Startwerten
> >
> > [mm]y_{1}(1)[/mm] = 1, [mm]y_{1}'(1)[/mm] = 2, [mm]y_{2}(1)[/mm] = -1, [mm]y_{2}'(1)[/mm] = 1
> > und Schrittweite h = 1 aus.
>  >  Hallo MathePower,
>  >  
> > vielen Dank für deine schnelle Antwort! Das von dir blau
> > hervorgehobene x war leider ein Tippfehler meinerseits.
>  >  
> > Ok, da ich die Gleichungen also gemeinsam betrachten muss
> > stellt sich mir nun die Frage, wie ich das anstellen soll.
> > Soll ich die zweite Gleichung vielleicht nach [mm]y_{2}(x)[/mm]
> > umformen und in die erste Gleichung einsetzen?
>  
>
> Mit Umformen hat das nichts zu tun.
>  
> Wähle hier z.B.
>  
> [mm]u_{0}=y_{1},u_{1}=y_{1}'=u_{0}'[/mm]
>  
> [mm]v_{0}=y_{1},v_{1}=y_{2}'=v_{0}'[/mm]

Meine erste Frage: Gehe ich recht in der Annahme, dass an dieser Stelle eigentlich folgendes stehen sollte:

[mm]v_{0}=y_{2},v_{1}=y_{2}'=v_{0}'[/mm] ?

> Dann kannst Du das obige System von DGLn 2. Ordnung
>  in ein System von DGLn 1. Ordnung umschreiben.
>  
>
> >  

> > Eine andere Idee fällt mir dazu leider nicht ein.
>  >  
> > Viele Grüße,
>  >  schneidross
>
>
> Gruss
>  MathePower

Dann meine zweite Frage: wenn ich die Umformulierung so handhabe wie du es vorschlägst, dann komme ich auf die folgenden zwei Gleichungen:

[mm] y_{1}''(x) [/mm] = [mm] u_{1}(x)x [/mm] + [mm] v_{0}(x) [/mm]
[mm] y_{2}''(x) [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] 3v_{0}(x) [/mm] - 2

Insbesondere habe ich nicht die geringste Ahnung, was [mm]u[/mm] und [mm]v[/mm] sein sollen. Wie kann ich die DGLn nun ein ein System 1. Ordnung transformieren?

Viele Grüße,
schneidross

PS.: Wie färbe ich Indices in einer Formel z.B. blau?


Bezug
                                        
Bezug
System von DGL der Ordnung 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:15 So 20.03.2011
Autor: MathePower

Hallo schneidross,

> Hallo MathePower
>  
> > Hallo schneidross,
>  >  
> > > Gegeben sei folgendes System von Differentialgleichungen
> > > der Ordnung 2:
>  >  >  
> > > [mm]y_{1}''(x)[/mm] = [mm]y_{1}'(x)x[/mm] + [mm]y_{2}(x),[/mm]
>  >  >  [mm]y_{2}''(x)[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]3y_{2}(x)[/mm] - 2.
>  >  >  
> > > Transformieren Sie das System 2. Ordnung in ein System 1.
> > > Ordnung und führen Sie einen Schritt des Eulerverfahrens
> > > mit Startwerten
> > >
> > > [mm]y_{1}(1)[/mm] = 1, [mm]y_{1}'(1)[/mm] = 2, [mm]y_{2}(1)[/mm] = -1, [mm]y_{2}'(1)[/mm] = 1
> > > und Schrittweite h = 1 aus.
>  >  >  Hallo MathePower,
>  >  >  
> > > vielen Dank für deine schnelle Antwort! Das von dir blau
> > > hervorgehobene x war leider ein Tippfehler meinerseits.
>  >  >  
> > > Ok, da ich die Gleichungen also gemeinsam betrachten muss
> > > stellt sich mir nun die Frage, wie ich das anstellen soll.
> > > Soll ich die zweite Gleichung vielleicht nach [mm]y_{2}(x)[/mm]
> > > umformen und in die erste Gleichung einsetzen?
>  >  
> >
> > Mit Umformen hat das nichts zu tun.
>  >  
> > Wähle hier z.B.
>  >  
> > [mm]u_{0}=y_{1},u_{1}=y_{1}'=u_{0}'[/mm]
>  >  
> > [mm]v_{0}=y_{1},v_{1}=y_{2}'=v_{0}'[/mm]
>  
> Meine erste Frage: Gehe ich recht in der Annahme, dass an
> dieser Stelle eigentlich folgendes stehen sollte:


Ja, die Annahme ist richtig.


>  
> [mm]v_{0}=y_{2},v_{1}=y_{2}'=v_{0}'[/mm] ?
>  
> > Dann kannst Du das obige System von DGLn 2. Ordnung
>  >  in ein System von DGLn 1. Ordnung umschreiben.
>  >  
> >
> > >  

> > > Eine andere Idee fällt mir dazu leider nicht ein.
>  >  >  
> > > Viele Grüße,
>  >  >  schneidross
> >
> >
> > Gruss
>  >  MathePower
>
> Dann meine zweite Frage: wenn ich die Umformulierung so
> handhabe wie du es vorschlägst, dann komme ich auf die
> folgenden zwei Gleichungen:
>  
> [mm]y_{1}''(x)[/mm] = [mm]u_{1}(x)x[/mm] + [mm]v_{0}(x)[/mm]
>  [mm]y_{2}''(x)[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]3v_{0}(x)[/mm] - 2


Wenn Du die Substitutionen, wie oben angegeben,
verwendest, dann steht da:

[mm]\blue{u_{1}}'(x) = u_{1}(x)*x + v_{0}(x)[/mm]
[mm]\blue{v_{1}}'(x) = x^{2} + 3v_{0}(x) - 2[/mm]

Zusätzlich zu diesen zwei Gleichungen hast Du noch

[mm]u_{0}'(x) = u_{1}(x)[/mm]
[mm]v_{0}'(x) = v_{1}(x)[/mm]

>  
> Insbesondere habe ich nicht die geringste Ahnung, was [mm]u[/mm] und
> [mm]v[/mm] sein sollen. Wie kann ich die DGLn nun ein ein System 1.
> Ordnung transformieren?


Damit ergibt sich folgendes System 1. Ordnung:

[mm]u_{0}'(x) = u_{1}(x)[/mm]
[mm]u_{1}'(x) = u_{1}(x)*x + v_{0}(x)[/mm]
[mm]v_{0}'(x) = v_{1}(x)[/mm]
[mm]v_{1}'(x) = x^{2} + 3v_{0}(x) - 2[/mm]

>  
> Viele Grüße,
>  schneidross
>  
> PS.: Wie färbe ich Indices in einer Formel z.B. blau?
>  


Das machst Du so: x_{\blue{1}}


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
System von DGL der Ordnung 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:23 So 20.03.2011
Autor: schneidross

Aufgabe
Gegeben sei folgendes System von Differentialgleichungen der Ordnung 2:

[mm] y_{1}''(x) [/mm] = [mm] y_{1}'(x)x [/mm] + [mm] y_{2}(x), [/mm]
[mm] y_{2}''(x) [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] 3y_{2}(x) [/mm] - 2.

Transformieren Sie das System 2. Ordnung in ein System 1. Ordnung und führen Sie einen Schritt des Eulerverfahrens mit Startwerten

[mm] y_{1}(1) [/mm] = 1, [mm] y_{1}'(1) [/mm] = 2, [mm] y_{2}(1) [/mm] = -1, [mm] y_{2}'(1) [/mm] = 1 und Schrittweite h = 1 aus.

Hallo Mathepower,

wir haben jetzt anhand deiner Hilfestellungen versucht eine Lösung zu erarbeiten, was uns hoffentlich auch gelungen ist. Vielleicht kannst du nochmal einen Blick darauf werfen um uns zu sagen ob, und wenn ja wo, noch Fehler liegen. Unsere Lösung lautet wie folgt:

Gleichungssystem zweier DGL 2. Ordnung:
[mm] y_{1}''(x)=y_{1}'(x)x+y_{2}(x) [/mm]
[mm] y_{2}''(x)=x^{2}+3y_{2}(x)-2 [/mm]

Mittels folgender Substitutionen:
[mm] u_{0}=y_{1}, u_{1}=y_{1}'=u_{0}' [/mm]
[mm] v_{0}=y_{2}, v_{1}=y_{2}'=v_{0}' [/mm]

erhalten wir nun folgendes DGL-System 1. Ordnung:
[mm] u_{0}'(x)=u_{1}(x) [/mm]
[mm] u_{1}'(x)=u_{1}(x)x+v_{0}(x) [/mm]
[mm] v_{0}'(x)=v_{1}(x) [/mm]
[mm] v_{1}'(x)=x^{2}+3v_{0}(x)-2 [/mm]

Nun führen wir einen Schritt des Eulerverfahrens durch, mit den in der Aufgabenstellung gegebenen Startwerten:
[mm] \vektor{u_{0} \\ u_{1} \\ v_{0} \\ v_{1}}=\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 1}+1\*\vektor{u_{1}(1) \\ u_{1}(1)1+v_{0}(1) \\ v_{1}(1) \\ 1^{2}+3v_{0}(1)-2} [/mm]
[mm] =\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 1}+\vektor{y_{1}'(1) \\ y_{1}'(1)\*1+y_{2}(1) \\ y_{2}'(1) \\ 1^{2}+3y_{2}(1)-2} [/mm]
[mm] =\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 1}+\vektor{2 \\ 2\*1-1 \\ 1 \\ 1+3\*(-1)-1}=\vektor{3 \\ 3 \\ 0 \\ -3} [/mm]

Und somit haben wir die Aufgabe vollständig gelöst mit dem Vektor [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 0 \\ -3} [/mm] als Ergebnis.

Wir hoffen, dass unsere Schritte nachvollziehbar waren. Ist das nun so alles korrekt?

Viele Grüße,
schneidross

Bezug
                                                        
Bezug
System von DGL der Ordnung 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:05 Mo 21.03.2011
Autor: MathePower

Hallo schneidross,

> Gegeben sei folgendes System von Differentialgleichungen
> der Ordnung 2:
>  
> [mm]y_{1}''(x)[/mm] = [mm]y_{1}'(x)x[/mm] + [mm]y_{2}(x),[/mm]
>  [mm]y_{2}''(x)[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]3y_{2}(x)[/mm] - 2.
>  
> Transformieren Sie das System 2. Ordnung in ein System 1.
> Ordnung und führen Sie einen Schritt des Eulerverfahrens
> mit Startwerten
>
> [mm]y_{1}(1)[/mm] = 1, [mm]y_{1}'(1)[/mm] = 2, [mm]y_{2}(1)[/mm] = -1, [mm]y_{2}'(1)[/mm] = 1
> und Schrittweite h = 1 aus.
>  Hallo Mathepower,
>  
> wir haben jetzt anhand deiner Hilfestellungen versucht eine
> Lösung zu erarbeiten, was uns hoffentlich auch gelungen
> ist. Vielleicht kannst du nochmal einen Blick darauf werfen
> um uns zu sagen ob, und wenn ja wo, noch Fehler liegen.
> Unsere Lösung lautet wie folgt:
>  
> Gleichungssystem zweier DGL 2. Ordnung:
>  [mm]y_{1}''(x)=y_{1}'(x)x+y_{2}(x)[/mm]
>  [mm]y_{2}''(x)=x^{2}+3y_{2}(x)-2[/mm]
>  
> Mittels folgender Substitutionen:
>  [mm]u_{0}=y_{1}, u_{1}=y_{1}'=u_{0}'[/mm]
>  [mm]v_{0}=y_{2}, v_{1}=y_{2}'=v_{0}'[/mm]
>  
> erhalten wir nun folgendes DGL-System 1. Ordnung:
>  [mm]u_{0}'(x)=u_{1}(x)[/mm]
>  [mm]u_{1}'(x)=u_{1}(x)x+v_{0}(x)[/mm]
>  [mm]v_{0}'(x)=v_{1}(x)[/mm]
>  [mm]v_{1}'(x)=x^{2}+3v_{0}(x)-2[/mm]
>  
> Nun führen wir einen Schritt des Eulerverfahrens durch,
> mit den in der Aufgabenstellung gegebenen Startwerten:
>  [mm]\vektor{u_{0} \\ u_{1} \\ v_{0} \\ v_{1}}=\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 1}+1\*\vektor{u_{1}(1) \\ u_{1}(1)1+v_{0}(1) \\ v_{1}(1) \\ 1^{2}+3v_{0}(1)-2}[/mm]
>  
> [mm]=\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 1}+\vektor{y_{1}'(1) \\ y_{1}'(1)\*1+y_{2}(1) \\ y_{2}'(1) \\ 1^{2}+3y_{2}(1)-2}[/mm]
>  
> [mm]=\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 1}+\vektor{2 \\ 2\*1-1 \\ 1 \\ 1+3\*(-1)-1}=\vektor{3 \\ 3 \\ 0 \\ -3}[/mm]
>  
> Und somit haben wir die Aufgabe vollständig gelöst mit
> dem Vektor [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 0 \\ -3}[/mm] als Ergebnis.
>  
> Wir hoffen, dass unsere Schritte nachvollziehbar waren. Ist
> das nun so alles korrekt?


Ja, bis auf eine kleine Feinheit

Das Eulerverfahren lautet formal so:

[mm]\vektor{u_{0,i+1} \\ u_{1,i+1} \\ v_{0,i+1} \\ v_{1,i+1}}=\vektor{u_{0,i} \\ u_{1,i} \\ v_{0,i} \\ v_{1,i}}+h\*\vektor{u_{1,i} \\ u_{1,i}*x_{i}+v_{0,i} \\ v_{1,i} \\ x_{i}^{2}+3v_{0,i}-2}, \ i \in \IN_{0}[/mm]

mit

[mm]x_{0}=1, \ x_{i}=x_{0}+i*h[/mm]

[mm]u_{0,0}=u_{0}\left(1\right), \ u_{1,0}=u_{1}\left(1\right), \ v_{0,0}=v_{0}\left(1\right), \ v_{1,0}=v_{1}\left(1\right)[/mm]


>  
> Viele Grüße,
>  schneidross


Gruss
MathePower

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