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| Aufgabe | | Lösen Sie [mm] \frac{2}{r}x'(r)+x''(r)=0. [/mm] |
Hallo,
ok wenn man substituiert y:=x' kommt man ziemlich schnell zur Lösung [mm] x(r)=C_{1}+\frac{C_{2}}{r}.
[/mm]
Jetzt habe ich aber eine andere Methode zur Lösung solche DGLen kennengelernt und wenn ich sie anwende, komme ich immer auf etwas falsches.
Ich mache aus der DGL ein System folgendermaßen: z(r)=(x,x') [mm] (Vektorfunktion)\Rightarrow [/mm] z'(r)=(x',x'').
Dann gilt: [mm] z'=\begin{pmatrix}0 & 1\\
0 & -\frac{2}{r}\end{pmatrix}z. [/mm] Jetzt berechne ich zwei unabhängige Lösungen durch die Eigenvektoren der Matrix dort.
Ich komme zu den Eigenwerten: [mm] \lambda_{1}=0,\lambda_{2}=-\frac{2}{r}.
[/mm]
Eigenvektoren: [mm] v_{1}=(1,0),v_{2}=(1,-\frac{2}{r}).
[/mm]
Normalerweise bekomme ich dann die Lösung als [mm] z(t)=C_{1}v_{1}+C_{2}v_{2}. [/mm] Dann wäre aber bei mir [mm] x=C_{1}+C_{2}, [/mm] was ja irgendwie falsch ist, weil dann auch [mm] x'=-\frac{2}{r}C_{2} [/mm] wäre, was im Widerspruch zu x steht.
Warum geht das hier nicht? Ich habe alle Voraussetzungen gecheckt und die passen alle.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:16 Mi 11.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie [mm]\frac{2}{r}x'(r)+x''(r)=0.[/mm]
> Hallo,
>
> ok wenn man substituiert y:=x' kommt man ziemlich schnell
> zur Lösung [mm]x(r)=C_{1}+\frac{C_{2}}{r}.[/mm]
>
> Jetzt habe ich aber eine andere Methode zur Lösung solche
> DGLen kennengelernt und wenn ich sie anwende, komme ich
> immer auf etwas falsches.
>
> Ich mache aus der DGL ein System folgendermaßen:
> z(r)=(x,x') [mm](Vektorfunktion)\Rightarrow[/mm] z'(r)=(x',x'').
>
> Dann gilt: [mm]z'=\begin{pmatrix}0 & 1\\
0 & -\frac{2}{r}\end{pmatrix}z.[/mm]
> Jetzt berechne ich zwei unabhängige Lösungen durch die
> Eigenvektoren der Matrix dort.
>
> Ich komme zu den Eigenwerten:
> [mm]\lambda_{1}=0,\lambda_{2}=-\frac{2}{r}.[/mm]
>
> Eigenvektoren: [mm]v_{1}=(1,0),v_{2}=(1,-\frac{2}{r}).[/mm]
>
> Normalerweise bekomme ich dann die Lösung als
> [mm]z(t)=C_{1}v_{1}+C_{2}v_{2}.[/mm] Dann wäre aber bei mir
> [mm]x=C_{1}+C_{2},[/mm] was ja irgendwie falsch ist, weil dann auch
> [mm]x'=-\frac{2}{r}C_{2}[/mm] wäre, was im Widerspruch zu x steht.
>
> Warum geht das hier nicht? Ich habe alle Voraussetzungen
> gecheckt und die passen alle.
Nein, die passen nicht ! Die "andere Methode" ist eine Methode füe lineare DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten.
Dieses System
$ [mm] z'=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & -\frac{2}{r}\end{pmatrix}z. [/mm] $
ist nicht von dieser Sorte
FRED
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> > Lösen Sie [mm]\frac{2}{r}x'(r)+x''(r)=0.[/mm]
> > Hallo,
> >
> > ok wenn man substituiert y:=x' kommt man ziemlich schnell
> > zur Lösung [mm]x(r)=C_{1}+\frac{C_{2}}{r}.[/mm]
> >
> > Jetzt habe ich aber eine andere Methode zur Lösung solche
> > DGLen kennengelernt und wenn ich sie anwende, komme ich
> > immer auf etwas falsches.
> >
> > Ich mache aus der DGL ein System folgendermaßen:
> > z(r)=(x,x') [mm](Vektorfunktion)\Rightarrow[/mm] z'(r)=(x',x'').
> >
> > Dann gilt: [mm]z'=\begin{pmatrix}0 & 1\\
0 & -\frac{2}{r}\end{pmatrix}z.[/mm]
> > Jetzt berechne ich zwei unabhängige Lösungen durch die
> > Eigenvektoren der Matrix dort.
> >
> > Ich komme zu den Eigenwerten:
> > [mm]\lambda_{1}=0,\lambda_{2}=-\frac{2}{r}.[/mm]
> >
> > Eigenvektoren: [mm]v_{1}=(1,0),v_{2}=(1,-\frac{2}{r}).[/mm]
> >
> > Normalerweise bekomme ich dann die Lösung als
> > [mm]z(t)=C_{1}v_{1}+C_{2}v_{2}.[/mm] Dann wäre aber bei mir
> > [mm]x=C_{1}+C_{2},[/mm] was ja irgendwie falsch ist, weil dann auch
> > [mm]x'=-\frac{2}{r}C_{2}[/mm] wäre, was im Widerspruch zu x steht.
> >
> > Warum geht das hier nicht? Ich habe alle Voraussetzungen
> > gecheckt und die passen alle.
>
>
> Nein, die passen nicht ! Die "andere Methode" ist eine
> Methode füe lineare DGL-Systeme mit konstanten
> Koeffizienten.
>
> Dieses System
>
> [mm]z'=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & -\frac{2}{r}\end{pmatrix}z.[/mm]
>
> ist nicht von dieser Sorte
>
> FRED
>
Das habe ich zuerst auch so gedacht, habs dann aber mal nachgeschlagen und als Einführung zu der Methode stand da: Wir betrachten das homogene Linearsystem x'=A(t)x, wobei x=x(t) und [mm] A:I\rightarrow \mathbb{R}^{n\times n} [/mm] stetig auf einem nicht-trivialen Intervall [mm] I\subset \mathbb{R} [/mm] ist.
Wenn ich das also sehe, dann sind die Einträge von A doch scheinbar nicht notwendigerweise konstant oder? Das hat mich gewundert und wundert mich immer noch...
Allerdings hatte ich als Übungsaufgaben zu dieser Methode auch immer konstante Matrizen. Was ist denn jetzt wie richtig?
Angenommen das gilt in der Tat nicht. Gibt es dann ein Standardverfahren zur Lösung beliebiger DGLen mit eben solchen nicht-konstanten Koeffizienten? Für homogene ist das sicherlich insofern möglich, als das man immer durch endlich viele Substitutionen das Ganze auf Trennung der Variablen zurückführen kann, aber dazu braucht man eben dann auch endlich viele Iterationen...
Ich kenne noch die Liouville-Formel, die für skalare DGLen mit höchster Ableitung 2 funktioniert, vorausgesetzt man kennt eine spezielle Lösung.
Aber weiteres weiß ich auch nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Mi 11.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > Lösen Sie [mm]\frac{2}{r}x'(r)+x''(r)=0.[/mm]
> > > Hallo,
> > >
> > > ok wenn man substituiert y:=x' kommt man ziemlich schnell
> > > zur Lösung [mm]x(r)=C_{1}+\frac{C_{2}}{r}.[/mm]
> > >
> > > Jetzt habe ich aber eine andere Methode zur Lösung solche
> > > DGLen kennengelernt und wenn ich sie anwende, komme ich
> > > immer auf etwas falsches.
> > >
> > > Ich mache aus der DGL ein System folgendermaßen:
> > > z(r)=(x,x') [mm](Vektorfunktion)\Rightarrow[/mm] z'(r)=(x',x'').
> > >
> > > Dann gilt: [mm]z'=\begin{pmatrix}0 & 1\\
0 & -\frac{2}{r}\end{pmatrix}z.[/mm]
> > > Jetzt berechne ich zwei unabhängige Lösungen durch die
> > > Eigenvektoren der Matrix dort.
> > >
> > > Ich komme zu den Eigenwerten:
> > > [mm]\lambda_{1}=0,\lambda_{2}=-\frac{2}{r}.[/mm]
> > >
> > > Eigenvektoren: [mm]v_{1}=(1,0),v_{2}=(1,-\frac{2}{r}).[/mm]
> > >
> > > Normalerweise bekomme ich dann die Lösung als
> > > [mm]z(t)=C_{1}v_{1}+C_{2}v_{2}.[/mm] Dann wäre aber bei mir
> > > [mm]x=C_{1}+C_{2},[/mm] was ja irgendwie falsch ist, weil dann auch
> > > [mm]x'=-\frac{2}{r}C_{2}[/mm] wäre, was im Widerspruch zu x steht.
> > >
> > > Warum geht das hier nicht? Ich habe alle Voraussetzungen
> > > gecheckt und die passen alle.
> >
> >
> > Nein, die passen nicht ! Die "andere Methode" ist eine
> > Methode füe lineare DGL-Systeme mit konstanten
> > Koeffizienten.
> >
> > Dieses System
> >
> > [mm]z'=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & -\frac{2}{r}\end{pmatrix}z.[/mm]
>
> >
> > ist nicht von dieser Sorte
> >
> > FRED
> >
> Das habe ich zuerst auch so gedacht, habs dann aber mal
> nachgeschlagen und als Einführung zu der Methode stand da:
> Wir betrachten das homogene Linearsystem x'=A(t)x, wobei
> x=x(t) und [mm]A:I\rightarrow \mathbb{R}^{n\times n}[/mm] stetig auf
> einem nicht-trivialen Intervall [mm]I\subset \mathbb{R}[/mm] ist.
>
> Wenn ich das also sehe, dann sind die Einträge von A doch
> scheinbar nicht notwendigerweise konstant oder? Das hat
> mich gewundert und wundert mich immer noch...
> Allerdings hatte ich als Übungsaufgaben zu dieser Methode
> auch immer konstante Matrizen. Was ist denn jetzt wie
> richtig?
Es ist so wie ich es Dir gesagt habe
FRED
>
> Angenommen das gilt in der Tat nicht. Gibt es dann ein
> Standardverfahren zur Lösung beliebiger DGLen mit eben
> solchen nicht-konstanten Koeffizienten? Für homogene ist
> das sicherlich insofern möglich, als das man immer durch
> endlich viele Substitutionen das Ganze auf Trennung der
> Variablen zurückführen kann, aber dazu braucht man eben
> dann auch endlich viele Iterationen...
>
> Ich kenne noch die Liouville-Formel, die für skalare DGLen
> mit höchster Ableitung 2 funktioniert, vorausgesetzt man
> kennt eine spezielle Lösung.
>
> Aber weiteres weiß ich auch nicht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Mi 11.08.2010 | | Autor: | T_sleeper |
Du hast vollkommen recht. Ich hab zusammenhangslos gelesen und dabei übersehen, dass das was ich meinte nur für inhomogene DGLen gilt. Dann kann man die Lösung entsprechend Variation der konstanten und Fundamentalmatrix bestimmen, dabei muss man allerdings die Lösung der homogenen Gleichung kennen und die hab ich ja hier gesucht.
Trotzdem bleibt meine Frage nach schönen anderen Standardverfahren.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 Mi 11.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Du hast vollkommen recht. Ich hab zusammenhangslos gelesen
> und dabei übersehen, dass das was ich meinte nur für
> inhomogene DGLen gilt. Dann kann man die Lösung
> entsprechend Variation der konstanten und Fundamentalmatrix
> bestimmen, dabei muss man allerdings die Lösung der
> homogenen Gleichung kennen und die hab ich ja hier
> gesucht.
>
> Trotzdem bleibt meine Frage nach schönen anderen
> Standardverfahren.
Für lineare homogene Syteme (mit nicht-konstanten Koeffizienten) hat man noch das Reduktionsverfahren von d'Alembert
Siehe z.B. : W: Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen (Springer), § 15, pp.175
FRED
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