System von Kongruenzen in Z[i] < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:17 Sa 24.07.2010 | | Autor: | congo.hoango |
| Aufgabe | Gegen ist im euklidischen Ring [mm] \mathbb{Z}[i] [/mm] das System von Kongruenzen:
x [mm] \equiv [/mm] -1 mod 2+5i, x [mm] \equiv [/mm] i mod 1+4i, x [mm] \equiv [/mm] -i mod 2-3i.
Geben Sie alle Lösungen x [mm] \in \mathbb{Z}[i] [/mm] an. |
Hallo,
ich habe bisher folgendes gemacht:
[mm] n_1:= [/mm] (1+4i)(2-3i)=13+5i [mm] \Rightarrow N(n_1)= [/mm] 194
[mm] n_2:=(2+5i)(2-3i)= [/mm] 19+4i [mm] \Rightarrow N(n_2)= [/mm] 377
[mm] n_3:=(2+5i)(1+4i)=-18+13i \Rightarrow N(n_3)= [/mm] 493
Mit [mm] r_1=2+5i, r_2= [/mm] 1+4i, [mm] r_3=2-3i, [/mm] folgt:
[mm] N(r_1)= [/mm] 29, [mm] N(r_2)=17, N(r_3)= [/mm] 13
Nun müsste man ja folgende Gleichung lösen können, bzw. das entsprechende [mm] s_i [/mm] und [mm] m_i [/mm] finden:
1= [mm] s_1*29 [/mm] + [mm] m_1*194
[/mm]
usw.
Aber ich weiß nicht wie ich auf die [mm] s_i [/mm] und [mm] m_i [/mm] komme....
Kann mir hier jemand helfen? Wäre echt super!
Vielen Dank schonmal.
Gruß
congo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Sa 24.07.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gegen ist im euklidischen Ring [mm]\mathbb{Z}[i][/mm] das System von [/i][/mm]
> [mm][i]Kongruenzen:[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]x [mm]\equiv[/mm] -1 mod 2+5i, x [mm]\equiv[/mm] i mod 1+4i, x [mm]\equiv[/mm] -i mod [/i][/mm]
> [mm][i]2-3i.[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Geben Sie alle Lösungen x [mm]\in \mathbb{Z}[i][/mm] an.[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i] Hallo,[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]ich habe bisher folgendes gemacht:[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm]n_1:=[/mm] (1+4i)(2-3i)=13+5i [mm]\Rightarrow N(n_1)=[/mm] 194[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i] [mm]n_2:=(2+5i)(2-3i)=[/mm] 19+4i [mm]\Rightarrow N(n_2)=[/mm] 377[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i] [mm]n_3:=(2+5i)(1+4i)=-18+13i \Rightarrow N(n_3)=[/mm] 493[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]Mit [mm]r_1=2+5i, r_2=[/mm] 1+4i, [mm]r_3=2-3i,[/mm] folgt: [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm]N(r_1)=[/mm] 29, [mm]N(r_2)=17, N(r_3)=[/mm] 13[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]Nun müsste man ja folgende Gleichung lösen können, bzw. [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]das entsprechende [mm]s_i[/mm] und [mm]m_i[/mm] finden:[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]1= [mm]s_1*29[/mm] + [mm]m_1*194[/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]usw.[/i][/mm][/i][/mm]
Wieso willst du nicht [mm]s_1, m_1 \in \IZ[i][/mm] finden mit $1 = [mm] r_1 s_1 [/mm] + [mm] n_1 m_1$? [/mm] Damit wuerdest du auf jeden Fall zum Ziel kommen. Die Normen brauchst du doch nur fuer den Euklidischen Algorithmus, der dir eine Loesung fuer diese Gleichung liefert.
LG Felix
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Hm....ich habe das einfach so gemacht wie uns das in der Übung vorgemacht wurde...aber letzten Endes suche ich doch auch die [mm] s_i [/mm] und [mm] m_i [/mm] aus der Gleichung.
Wie komme ich denn auf die?
Gruß
congo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Sa 24.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin
> Hm....ich habe das einfach so gemacht wie uns das in der
> Übung vorgemacht wurde...aber letzten Endes suche ich doch
> auch die [mm]s_i[/mm] und [mm]m_i[/mm] aus der Gleichung.
Ok...
> Wie komme ich denn auf die?
Mit dem ![[]](/images/popup.gif) Erweiterten Euklidischen Algorithmus.
LG Felix
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Super, 1000 Dank, jetzt habe ich die Aufgabe lösen können.
Gruß
congo
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:37 Do 12.08.2010 | | Autor: | duda |
ich bin grad dabei diese aufgabe zu berechnen und habe für [mm] (s_{1}, m_{1}) [/mm] = (47, -13) heraus bekommen.
ist die lösung soweit richtig?
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Hallo duda,
> ich bin grad dabei diese aufgabe zu berechnen und habe für
> [mm](s_{1}, m_{1})[/mm] = (47, -13) heraus bekommen.
> ist die lösung soweit richtig?
Poste bitte deine Rechnung, dann kann man drüber schauen, aber wieso sollte das jemand komplett selber rechnen, nur um dein Ergebnis zu prüfen?
Also zeige deine Rechnung, dann kann man dir helfen!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 14.08.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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