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Forum "Differentialgleichungen" - System von ODEs
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System von ODEs: Ideen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:52 Fr 05.06.2009
Autor: bernstein

Aufgabe
Gleichungen:

d(y1)/dt = - k1 y1 - Z y1 , für t < k15
         =   0            , sonst

d(y2)/dt = k1 y1 - k3 y2 - Z y2

d(y3)/dt = k3 y2 + k16 y5 - k5 y3 - k5 y3 ( k2 - y5 - y6 ) - Z y3

d(y5)/dt = k5 y3 (k2 - y5 - y6) + k16 y6 - k15 y5 - k6 y5 y7 - Z y5

d(y6)/dt = k6 y5 y7 - k7 y6 - k15 y6 - Z y6

d(y7)/dt = k9 + k15 y6 - k6 y7 y5 - k10 y7

d(y8)/dt = k11 y7 - k12 y8

d(y9)/dt = k13 y9 (1 - (y9/k14))

Z(t)  = ((d(y9)/dt) / y9)

Konstanten k1 bis k15 sind bekannt

Anfangswerte (t=0) für y1 bis y9, und Z sind bekannt

Vereinzelt sind weitere Werte (für t > 0) für die Variablen bekannt

Lösung des Systems für t=0 bis t=t_end

Hi Mathe-Fans,

Wie kann ich dieses Gleichungssystem beschreiben: handelt es sich um ODEs erster Ordnung oder doch (wegen Z(t)) um Differential-algebraische Gleichungen? Ist das System "stiff"/Instabil? Welche anderen wichtigen Eigenschaften sind nennenswert?

Wie kann ich es für t=0 bis t=t_end lösen, bzw. herausfinden mit welchem numerischen Verfahren/Algorithmus es sich sinnvoll lösen lässt?

Vielen Dank für Eure Anregungen,
Simon


Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: Google-Newsgroup sci.math.research

        
Bezug
System von ODEs: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:29 Fr 05.06.2009
Autor: ullim

Hi,

vielleicht hilft das ein wenig,

zuerst die Dgl's  für [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_9 [/mm] lösen, die hängen ja nicht noch von anderen Zustandsgrössen ab. Damit hast Du dann auch Z.

Mit [mm] y_1 [/mm] kann man auch [mm] y_2 [/mm] berechnen als ODE 1. Ordnung.

Damit ist das Problem schon mal reduziert. Du hast dann nur noch ein System von 5 gekoppelten ODE anstatt 9.

Übrigens, was ist mit [mm] y_4, [/mm] gibts die Grösse nicht oder hast Du Sie vergessen?

Ich habe mal in der zwischenzeit ein wenig rum gespielt und die Differentialgleichungen versucht mit einem Mathematik Programm (Mathcad) numerisch zu lösen. Ich brauche aber noch Deine konkreten Parameter k und die Anfangsbedingungen. Im Augenblick löse ich die Dgls mit Adams / BDF.

mfg ullim

Bezug
        
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System von ODEs: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:45 Di 09.06.2009
Autor: milchfischknilch

Wie bereits erwähnt kann man bei der DGL mit linearer algebraischer Bedingung zuerst y9 , dann Z, dann y1 und dann y2 berechnen.

Man kann die DAE zu einer DGL umwandeln, da
Z(t) = (k13 y9 (1 - (y9/k14))/ y9) .

Steifigkeit und Stabilität hängen von den Parametern und evtl von den Anfangsbedingungen ab. Andere Eigenschaften wären z.B. ein Grenzzyklus.

Je nach Parameter kann man auch Runge Kutta 4 nehmen oder z.B. in Matlab ode45 oder ode15s.

Bezug
        
Bezug
System von ODEs: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:36 Di 09.06.2009
Autor: ullim

Hi,

als Ergänzung noch, ich habe das mit Mathcad gelöst und habe es mit Adam / BDF, Radau und Runge Kutta probiert. Alle liefern das gleiche Ergebnis, allerdings habe ich die Konstanten und Anfangsbedienungen irgendwie angenommen.

mfg ullim

Bezug
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