Systeme m. konst. Koeffiz. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | J = [mm] \pmat{ \lambda & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \lambda & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda}
[/mm]
Für [mm] \lambda \in \IK [/mm] . Sei J [mm] \in M(r,r;\IK)
[/mm]
Zeigen Sie, dass:
[mm] e^{xJ} [/mm] = [mm] \pmat{ e^{\lamda x} & xe^{\lamda x} & \bruch{1}{2}x^{2}e^{\lamda x} & \ldots & \bruch{1}{(r-1)!}x^{r-1}e^{\lambda x}\\ 0 & e^{\lamda x} & xe^{\lamda x}& \ldots & \bruch{1}{(r-2)!}x^{r-2}e^{\lambda x} \\ 0 & 0 & e^{\lamda x} & \ldots & \bruch{1}{(r-3)!}x^{r-3}e^{\lambda x} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & e^{\lamda x}} [/mm] |
Hinweis: verifizieren sie, dass die funktionen
[mm] y_{k}(x):=\vector{\bruch{1}{(k-1)!}x^{k-1}e^{\lambda x} \\ \vdots \\ xe^{\lamda x} \\ e^{\lamda x} \\ 0 \\ \vdots \\ 0} [/mm] , 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] r
Lösungen von y' = Jy sind.
was bringt mir die verifizierung? woraus kann ich das zu zeigende schließen?
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Hallo nickjagger,
> J = [mm]\pmat{ \lambda & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \lambda & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda}[/mm]
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> Für [mm]\lambda \in \IK[/mm] . Sei J [mm]\in M(r,r;\IK)[/mm]
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> Zeigen Sie, dass:
> [mm]e^{xJ}[/mm] = [mm]\pmat{ e^{\lamda x} & xe^{\lamda x} & \bruch{1}{2}x^{2}e^{\lamda x} & \ldots & \bruch{1}{(r-1)!}x^{r-1}e^{\lambda x}\\ 0 & e^{\lamda x} & xe^{\lamda x}& \ldots & \bruch{1}{(r-2)!}x^{r-2}e^{\lambda x} \\ 0 & 0 & e^{\lamda x} & \ldots & \bruch{1}{(r-3)!}x^{r-3}e^{\lambda x} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & e^{\lamda x}}[/mm]
> Hinweis: verifizieren sie, dass die funktionen
> [mm]y_{k}(x):=\vector{\bruch{1}{(k-1)!}x^{k-1}e^{\lambda x} \\ \vdots \\ xe^{\lamda x} \\ e^{\lamda x} \\ 0 \\ \vdots \\ 0}[/mm]
> , 1 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] r
> Lösungen von y' = Jy sind.
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> was bringt mir die verifizierung? woraus kann ich das zu
> zeigende schließen?
Zunächst einmal handelt es sich um dieses System:
[mm]\pmat{y_{r} \\ \vdots \\ y_{1}}' = J \pmat{y_{r} \\ \vdots \\ y_{1}}[/mm]
Oder ausgeschrieben:
[mm]y_{k}'=\lambda*y_{k}+y_{k-1}, \ 1 < k \le r[/mm]
[mm]y_{1}'=\lambda*y_{1}[/mm]
Das kann jetzt beginnend mit der letzten Gleichung sukzessive gelöst werden.
Dann erhältst Du die beschriebenen Lösungen für [mm]y_{k}, \ 1 \le k \le r[/mm]
Gruß
MathePower
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