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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Do 23.06.2005 | | Autor: | HomerSi |
Hallo,
ich habe eine Frage wie man ein System von DGl löst.Ich weis es hat irgend etwas mit Eigenwerten zu tun. Wie man die errechnet weiß ich, aber wie soll ich dann vorgehen?
Zum Beispiel:
dy1/dx= 1*y1+2*y2
dy2/dx= 3*y2+4*y2
Das 1 und 2 nach den y sind die Index.
Wie soll ich da vorgehn.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo HomerSi,
> dy1/dx= 1*y1+2*y2
> dy2/dx= 3*y2+4*y2
ich denke das System sieht so aus:
[mm]\begin{gathered}
y\; = \;\left( {y_1 ,\;y_2 } \right)^T \hfill \\
y'\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{array} } \right)\;y \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Hier bestimmst Du zunächst das charakteristische Polynom:
[mm]\begin{gathered}
\det \left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)\; = \;0 \hfill \\
\det \left( {\begin{array}{*{20}c}
{1\; - \;\lambda } & 2 \\
3 & {4\; - \;\lambda } \\
\end{array} } \right)\; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;\left( {1\; - \;\lambda } \right)\;\left( {4\; - \;\lambda } \right)\; - \;6\; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Dann bestimmst Du die Eigenvektoren zu dem jeweiligen Eigenwert [mm]\lambda[/mm].
Hierbei wird das Gleichungssystem [mm]\left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)\;e_\lambda \; = \;0[/mm] für jeden Eigenwert gelöst.
Die nichttrivialen Lösungen sind die Eigenräume zum zugehörigen Eigenwert [mm]\lambda[/mm].
Jetzt wird aus den ermittelten Eigenvektoren eine Transformationsmatrix gebastelt:
[mm]C\; = \;\left({e_{\lambda _1 } ,\;e_{\lambda _2 } } \right)[/mm]
Durch die Transformation y = C z wird das oben angegebene System in ein einfacheres transformiert.
Durch die Anwendung dieser Transformation wird das System auf Diagonalgestalt gebracht.
Dies lautet dann [mm]z'\; = \;C^{ - 1} \;A\;C\;z[/mm]
[mm]z'\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{\lambda _1 } & 0 \\
0 & {\lambda _2 } \\
\end{array} } \right)\;z[/mm]
Das gilt aber nur für den Fall von einfachen Eigenwerten.
Dies läßt sich nun einfacher lösen:
Um die Lösungen für y zu erhalten, müssen die Lösungen von z mit Hilfe der Transformation nach y überführt werden.
Gruß
MathePower
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