TF einer CF im Banachraum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Tina85 |
| Aufgabe | Sei A ein Banachraum und [mm] (a_n) [/mm] eine Cauchyfolge in A.
Man finde nun mittels Induktion eine Teilfolge, deren aufeinanderfolgende Elemente einen Abstand kleiner [mm] 2^{-j} [/mm] haben. |
Hallo zusammen!
Die Induktion sollte ja vermutlich über j laufen, oder?
Aber was ist überhaupt meine Induktions-Aussage, die ich beweisen will?
Bzw. der Induktionsanfang?
Wär super, wenn mir da jemand ein paar Hinweise geben könnte :)
Grüße,
Tina
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:27 Do 19.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Da [mm] (a_n) [/mm] eine Cauchyfolge ist, ex ein Index [mm] n_1 [/mm] mit:
[mm] $||a_n-a_{n_1}|| [/mm] < 1/2$ für n [mm] \ge n_1
[/mm]
Aus dem gleichen Grund ex. ein Index [mm] n_2 [/mm] > [mm] n_1 [/mm] mit:
[mm] $||a_n-a_{n_2}|| [/mm] < [mm] 1/2^2$ [/mm] für n [mm] \ge n_2
[/mm]
etc... . Jetzt bist Du dran !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:21 Do 19.11.2009 | | Autor: | Tina85 |
Guten Morgen!
Erst mal Danke für deine Hilfe :)
Meine Induktionsbehauptung ist doch:
Ich finde Indizes [mm] n_{1} [/mm] < [mm] n_{2} [/mm] < [mm] n_{3} [/mm] < ... < [mm] n_{j} [/mm] , so dass für alle j [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \vmat{ a_{n_{j+1}}-a_{n_{j}} } [/mm] < [mm] \epsilon_{j} [/mm] = 2^-j
Induktionsanfang ist das, was du gemacht hast.
Induktionsannahme ist, dass die Aussage für j gilt.
Der Induktionsschritt ist mein Problem:
Sei [mm] \epsilon_{j+1}= 2^{-(j+1)}, [/mm] dann finde ich ein [mm] n_{j+1} [/mm] so dass [mm] \vmat{ a_{n}-a_{n_{j+1}}} [/mm] < [mm] \epsilon_{j+1} [/mm] für n [mm] \ge n_{j+1}
[/mm]
Ebenso finde ich zu [mm] \epsilon_{j+2}= 2^{-(j+2)}, [/mm] ein [mm] n_{j+2} [/mm] > [mm] n_{j+1} [/mm] so dass [mm] \vmat{ a_{n}-a_{n_{j+2}}} [/mm] < [mm] \epsilon_{j+2} [/mm] für n [mm] \ge n_{j+2}
[/mm]
Und damit würde ja wegen [mm] n_{j+2} [/mm] > [mm] n_{j+1} [/mm] gelten:
[mm] \vmat{ a_{n_{j+2}}-a_{n_{j+1}}} [/mm] < [mm] \epsilon_{j+1} [/mm]
Aber irgendwie fehlt mir hier der eigentliche Induktionsschritt, oder??
Liebe Grüße,
Tina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:13 Do 19.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Die Induktion mußt Du anders machen:
Zunächst die folgende
Behauptung: es gibt eine Teilfolge [mm] (a_{n_k}) [/mm] mit:
(*) [mm] $||a_n-a_{n_k}|| <1/2^k$ [/mm] für n [mm] \ge n_k
[/mm]
Beweis (induktiv)
Ind.-Anfang: habe ich oben schon gemacht
Ind. Vor: Sei k [mm] \in \IN [/mm] und wir haben konstruiert [mm] n_1
[mm] $||a_n-a_{n_j}|| <1/2^k$ [/mm] für n [mm] \ge n_j [/mm] (j = 1,2, ..., k)
Ind. Schritt:Da [mm] (a_n) [/mm] eine Cauchyfolge ist, ex ein [mm] n_{k+1}>n_k [/mm] mit
[mm] $||a_n-a_{n_{k+1}}|| <1/2^{k+1}$ [/mm] für n [mm] \ge n_{k+1}
[/mm]
Beweisende.
Damit haben wir eine Teilfolge [mm] (a_{n_k}) [/mm] mit der Eigenschaft (*) gebastelt.
Ist nun k [mm] \in \IN, [/mm] so ist [mm] n_{k+1}>n_k [/mm] , also folgt aus (*)
[mm] $||a_{n_{k+1}}-a_{n_k}|| <1/2^k$ [/mm]
FRED
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