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| Aufgabe | Gegeben sind die Geradengleichungen in Parameterform
[mm] $g:=\vec x=(2,-3,4)+k\, [/mm] (4,1,-2)$ und [mm] $h:=\vec x=(86,18,-38)+r\, [/mm] (-20,-5,10)$.
Zeigen Sie, dass g und h identische Geraden sind. |
Hallo!
ich habe die obige Gleichung in der Form [mm] $k\, (4,1,-2)\,+\,r\, [/mm] (20,5,-10)=(84,21,-42)$ als 3x3-Matrix eingetippt (natürlich als Spaltenvektoren) und mit rref folgendes Ergebnis erhalten:
1 0 -11,5
0 1 6,5
0 0 0
Dies sieht mir jedoch nach einem Punkt als Schnittmenge aus. Kann mir jemand erklären, wie man hier die Ausgabe zu interpretieren hat?
Vielen im Voraus,
Lorenz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 So 02.10.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
was Dein TI hier rausgibt, das kann ich nicht interpretieren, aber das ist auch gar nicht nötig. Du musst nur zeigen, dass für eine bestimmte Kombination aus k und r Deine umgestellte Gleichung lösbar ist. Ein scharfer Blick zeigt mir sofort, dass dies für k =1 und r = 4 der Fall ist.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo Lorenz,
da ist ein Denkfehler im Ansatz.
> Gegeben sind die Geradengleichungen in Parameterform
>
> [mm]g:=\vec x=(2,-3,4)+k\, (4,1,-2)[/mm] und [mm]h:=\vec x=(86,18,-38)+r\, (-20,-5,10)[/mm].
>
> Zeigen Sie, dass g und h identische Geraden sind.
> Hallo!
>
> ich habe die obige Gleichung in der Form [mm]k\, (4,1,-2)\,+\,r\, (20,5,-10)=(84,21,-42)[/mm]
> als 3x3-Matrix eingetippt (natürlich als Spaltenvektoren)
Was ist zu tun, um die Identität der Geraden nachzuweisen?
1) die Richtungsvektoren müssen kollinear sein. Das ist hier einfach zu prüfen.
2) Der Aufpunkt von g muss auf h liegen (stimmt für r=4,2) und der Aufpunkt von h auf g (stimmt für k=21), wobei es genügt, das für einen der beiden nachzuweisen.
Nun hast Du - ohne dass ich mit Deinem TR und seinen Befehlen vertraut wäre, aber eine 3x3-Matrix erstellt, in der die dritte Spalte die Differenz der Ortsvektoren der beiden Aufpunkte darstellt. Auch das geht, wenn man Schritt 2) von oben erledigen will - gelangt man von einem Aufpunkt zum andern durch die Addition eines Vielfachen eines der beiden Richtungsvektoren? Wenn Du beide eingibst, überprüfst Du zugleich Schritt 1. Dann kann es folgende Lösungen geben:
a) keine Kombination von Vielfachen der Richtungsvektoren führt vom einen zum andern Aufpunkt. Interpretation: die Geraden sind parallel oder windschief (oder mindestens ein Richtungsvektor ist der Nullvektor).
b) genau eine Kombination von Vielfachen... Interpretation: Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear, die Geraden können also nicht identisch sein. Dafür liegen sie in einer Ebene.
c) beliebig viele Kombinationen... Interpretation: Die Geraden sind identisch.
Die Nullzeile in Deiner Lösung spricht für Ergebnis c), ich weiß allerdings nicht, ob die letzte Spalte der Eingabe wirklich absolute Glieder darstellt, oder ob für ein Gleichungssystem nicht eigentlich eine Spalte fehlt.
In der Realität ist ja eigentlich eine Zeile zuviel - die Frage ist, wie der TR erkennen soll, welcher der beiden Fälle vorliegt, fehlende Spalte oder überzählige Zeile?
> und mit rref folgendes Ergebnis erhalten:
>
> 1 0 -11,5
> 0 1 6,5
> 0 0 0
>
> Dies sieht mir jedoch nach einem Punkt als Schnittmenge
> aus. Kann mir jemand erklären, wie man hier die Ausgabe zu
> interpretieren hat?
Grüße
reverend
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Hallo Inifinit und reverend,
vielen Dank für die raschen Antworten!
Ich weiß, dass man das alles viel schneller im Kopf/mit scharfem Blick lösen kann. Ich bin jedoch Studienreferendar (also fange gerade an zu unterrichten) und es gibt Schüler, die so etwas in einer Abiturklausur in ihren TR einkloppen. Auch wenns länger dauert, sollte das Ergebnis natürlich trotzdem richtig sein. Und deshalb bin ich interessiert an der Interpretation der TR Ausgabe, denn bei identischen Geraden hätte ich nur [mm] \textit{eine} [/mm] linear unabhängie Spalte in der Ausgabe erwartet, ist aber nicht so.
Wär super, wenn mir da jemand helfen kann!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Mo 03.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo Inifinit und reverend,
>
> vielen Dank für die raschen Antworten!
> Ich weiß, dass man das alles viel schneller im Kopf/mit
> scharfem Blick lösen kann. Ich bin jedoch
> Studienreferendar (also fange gerade an zu unterrichten)
> und es gibt Schüler, die so etwas in einer Abiturklausur
> in ihren TR einkloppen.
Lieber Kollege in spe,
dann ist es deine verdammte Aufgabe, diesen Schülern ihre Taschenrechnergläubigkeit bis dahin auszutreiben.
Im Moment tust du das Gegenteil, wenn du auch noch versuchst, auf den Irrsinn einzugehen.
Gruß Abakus
> Auch wenns länger dauert, sollte
> das Ergebnis natürlich trotzdem richtig sein. Und deshalb
> bin ich interessiert an der Interpretation der TR Ausgabe,
> denn bei identischen Geraden hätte ich nur [mm]\textit{eine}[/mm]
> linear unabhängie Spalte in der Ausgabe erwartet, ist aber
> nicht so.
>
> Wär super, wenn mir da jemand helfen kann!
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Hallo abakus,
als wenns nach mir ginge, dann wäre niemals der Entschluss für solche GTRs durchgekommen, das kannst Du mir glauben!
Hab nun den Fehler gefunden - im Speicher des TR war noch ne irgendwas anderes, auf das der aus irgendeinem Grund zugegriffen. Hat mich ganz schön viel Zeit gekostet..
Trotzdem vielen Dank an alle, die sich die Zeit genommen haben und zumindest gezeigt haben, das die Dinger ein Fluch sind..
Schönen Abend,
Lorenz
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