TM3 - Fallbewegung < Maschinenbau < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Fallbewegung eines Massenpunktes bei Luftwiderstand wird in etwa durch das Gesetz [mm] x''=g-\alpha [/mm] x'^{2} beschrieben. Die Bewegung erfolgt aus der Ruhe heraus, x(0)=0 und x'(0)=0 .
a) Berechnen Sie den Weg x(t) und die Geschwindigkeit x'(t) als Funktionen der Zeit.
b) Welche Endgeschwindigkeit [mm] x'(\infty] [/mm] stellt sich ein?
Gegeben: [mm] \alpha [/mm] , g
Skizze: http://img405.imageshack.us/img405/6373/unbenanntde.jpg |
Hallo,
zur Aufgabe:
Ich habe folgendes gemacht:
[mm] x''=g-\alpha [/mm] x'^{2}
[mm] \bruch{dv}{dt}=g-\alpha v^{2}
[/mm]
Trennen der Veränderlichen: [mm] \bruch{1}{v^{2}}dv=g-\alpha [/mm] dt
Integrieren: [mm] \integral{\bruch{1}{v^{2}}dv}=g-\alpha \integral{1dt}
[/mm]
soweit richtig?
wenn ja, wie wird nochmal [mm] \bruch{1}{v^{2}} [/mm] integriert ?^^
Danke vielmals.
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Hallo monstre,
> Die Fallbewegung eines Massenpunktes bei Luftwiderstand
> wird in etwa durch das Gesetz [mm]x''=g-\alpha[/mm] x'^{2}
> beschrieben. Die Bewegung erfolgt aus der Ruhe heraus,
> x(0)=0 und x'(0)=0 .
>
> a) Berechnen Sie den Weg x(t) und die Geschwindigkeit x'(t)
> als Funktionen der Zeit.
>
> b) Welche Endgeschwindigkeit [mm]x'(\infty][/mm] stellt sich ein?
>
> Gegeben: [mm]\alpha[/mm] , g
>
> Skizze:
> http://img405.imageshack.us/img405/6373/unbenanntde.jpg
> Hallo,
>
> zur Aufgabe:
>
> Ich habe folgendes gemacht:
>
> [mm]x''=g-\alpha[/mm] x'^{2}
>
> [mm]\bruch{dv}{dt}=g-\alpha v^{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Trennen der Veränderlichen: [mm]\bruch{1}{v^{2}}dv=g-\alpha[/mm]
> dt ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
wenn dann musst du auch das g durch [mm] v^2 [/mm] teilen....
etwa [mm] \frac{(1 - g)}{v^2} [/mm] dv = [mm] -\alpha [/mm] oder [mm] \frac{g - 1}{v^2} [/mm] dv = [mm] \alpha
[/mm]
>
> Integrieren: [mm]\integral{\bruch{1}{v^{2}}dv}=g-\alpha \integral{1dt}[/mm]
hier musst du das g dann natürlich mit integrieren, den Term im Zähler kannst du aber natürlich als Konstante vor das Integral ziehen.
>
> soweit richtig?
s.o.
>
> wenn ja, wie wird nochmal [mm]\bruch{1}{v^{2}}[/mm] integriert ?^^
[mm] \frac{1}{v^2} [/mm] = [mm] v^{-2} [/mm]
wie wird [mm] v^2 [/mm] integriert? wie wird dann [mm] v^{-2} [/mm] integriert?
>
>
> Danke vielmals.
Gerne, Gruß Christian
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 12:47 Mo 25.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
in deiner Umformung ist ein Fehler, monstre hats aber den wichtigen Hinweis verstanden
Gruss leduart
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Hier nochmals neu berechnet:
[mm] x''=g-\alpha [/mm] x'^{2} --> [mm] \bruch{dv}{dt}=g-\alpha v^{2} [/mm] --> [mm] \bruch{1}{g-\alpha v^{2}}dv=dt [/mm] --> [mm] \integral{\bruch{1}{g-\alpha v^{2}}dv}=\integral{dt}
[/mm]
Es gilt ja: [mm] \integral{\bruch{dx}{a^{2}-x^{2}}}=\bruch{1}{a}*arctanh\bruch{x}{a}
[/mm]
Somit mache ich folgendes:
[mm] \integral{\bruch{1}{g-\alpha v^{2}}dv}=\integral{dt} [/mm] --> [mm] \integral{\bruch{1}{\alpha}*\bruch{1}{\bruch{g}{\alpha}-v^{2}}dv}=\integral{dt} [/mm] -->
[mm] \bruch{1}{\alpha}*\integral{\bruch{1}{\bruch{g}{\alpha}-v^{2}}dv}=\integral{dt} [/mm] --> [mm] \bruch{1}{\alpha}*\integral{\bruch{1}{(\wurzel{\bruch{g}{\alpha}})^{2}-v^{2}}dv}=\integral{dt}
[/mm]
---> [mm] \bruch{1}{\alpha}*\bruch{1}{\wurzel{\bruch{g}{\alpha}}}arctanh\bruch{v}{\wurzel{\bruch{g}{\alpha}}}=t [/mm] --> [mm] \bruch{1}{\alpha*\wurzel{\bruch{g}{\alpha}}}arctanh\bruch{v}{\wurzel{\bruch{g}{\alpha}}}=t [/mm]
Korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 Mo 25.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
korrekt, wenn du irgendwo noch ne Integrationskonstante addierst.
Gruss leduart
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hallo,
hier nochmals mit Integrationskonstante:
[mm] \bruch{1}{\alpha\cdot{}\wurzel{\bruch{g}{\alpha}}}arctanh\bruch{v}{\wurzel{\bruch{g}{\alpha}}}-C=t [/mm]
Aber wie soll ich das nach v umformen, um die Geschwindigkeit zu erhalten?
oder kann ich einfach durch t teilen:
[mm] \bruch{1}{\alpha\cdot{}\wurzel{\bruch{g}{\alpha}}}arctanh\bruch{1}{\wurzel{\bruch{g}{\alpha}}}-C=\bruch{t}{v} [/mm]
oder geht das nicht, weil der Ausdruck steht arctan von etwas: [mm] arctanh(\bruch{v}{\wurzel{\bruch{g}{\alpha}}})
[/mm]
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und wie bekomme ich das v(t) ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Di 26.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Umkehrfkt benutzen!
tanh(artanh(a))=a
Gruss leduart
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Also für die Umkehrfkt. einfach v und t vertauschen, da die Form bereits umgestellt ist:
[mm] \bruch{1}{\alpha\cdot{}\wurzel{\bruch{g}{\alpha}}}arctanh\bruch{v}{\wurzel{\bruch{g}{\alpha}}}-C=t
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\alpha\cdot{}\wurzel{\bruch{g}{\alpha}}}arctanh\bruch{t}{\wurzel{\bruch{g}{\alpha}}}-C=v [/mm] = v(t)
Korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Di 26.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du [mm] a(x/b)^2=y [/mm] hst schreibst du dann auch einfach
[mm] a(y/b)^2=y?
[/mm]
oder wendest du die umkehrfkt des Quadrates an?
also [mm] (x/b)^2=y/a
[/mm]
jetzt umkehrfkt :
[mm] \wurzel{(x/b)^2}=\wurzel{y/a}
[/mm]
[mm] x/b=\wurzel{y/a}
[/mm]
[mm] x=b*\wurzel{y/a}
[/mm]
so geht man mit Umkehrfkt. um.
was du gemacht hast ist ein bissel haarsträ![[schock]](/images/smileys/schock.gif "[schock]") ubend!
Gruss leduart
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> Hallo
> wenn du [mm]a(x/b)^2=y[/mm] hst schreibst du dann auch einfach
> [mm]a(y/b)^2=y?[/mm]
> oder wendest du die umkehrfkt des Quadrates an?
> also [mm](x/b)^2=y/a[/mm]
> jetzt umkehrfkt :
> [mm]\wurzel{(x/b)^2}=\wurzel{y/a}[/mm]
> [mm]x/b=\wurzel{y/a}[/mm]
> [mm]x=b*\wurzel{y/a}[/mm]
> so geht man mit Umkehrfkt. um.
> was du gemacht hast ist ein bissel
> haarsträubend!
> Gruss leduart
>
tut mir leid, aber ich verstehe das nicht ganz. Wo siehst du bei dieser funktion [mm] \bruch{1}{\alpha\cdot{}\wurzel{\bruch{g}{\alpha}}}arctanh\bruch{v}{\wurzel{\bruch{g}{\alpha}}}-C=t [/mm] ein Quadrat?
nur um klarzustellen, dass wir nicht aneinander vorbei reden: ich soll nach v auflösen, oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Di 26.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich sehe kein Quadrat. Das Quadrat hat nichts direkt mit deinem Problem zu tun! ich wollte dir zeigen, wie man mit umkehrfkt umgeht.
Beantworte 2 fragen
Wenn du hast t=a*(sin(bx)) kannst du das nach x(t) auflösen
oder [mm] t=a*e^{bx} [/mm] nach x(t) auflösen?
Weisst du was Umkehrfunktionen sind?
Gruss leduart
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> Hallo
> ich sehe kein Quadrat. Das Quadrat hat nichts direkt mit
> deinem Problem zu tun! ich wollte dir zeigen, wie man mit
> umkehrfkt umgeht.
> Beantworte 2 fragen
> Wenn du hast t=a*(sin(bx)) kannst du das nach x(t)
> auflösen
> oder [mm]t=a*e^{bx}[/mm] nach x(t) auflösen?
Ich schätze mal das letztere ist eher möglich oder. Ich weiß noch schwach was von der schule, dass umkehrfkt. von e die ln-fkt. ist, oder so ähnlich.
> Weisst du was Umkehrfunktionen sind?
wir haben leider in der schule, dass nie so richtig behandelt und bis heute hatte ich das auch nie gebraucht, wenn dann für offensichtliche funktionen wie y= 2x−1 , wo man einfach umstellen nach x oder y und dann die variablen vertauschen musste.
> Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 28.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
![[hot]](/images/smileys/hot.gif "[hot]"){kind=small}
