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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Smex |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Einschränkung der Tangensfunktion tan(z) = [mm] \bruch{sin z}{cos z} [/mm] auf (- [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] , [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] eine streng monotone, bijektive Abbildung mit Wertebereich (- [mm] \infty, \infty) [/mm] ist. |
Hi,
also zunächst mal folgendes: Wenn ich bewiesen habe, dass die Funktion auf dem Intervall streng monoton ist, dann weiß ich doch schon, dass sie bijektiv ist, denn injektiv ist jede streng monotone Funktion und surjektiv ist sie als Funktion f: D nach f(D) und das ist doch hier der Fall, oder?
Und jetzt kommt mein Problem: Wie beweise ich denn, dass die Funktion streng monoton ist, denn ich weiß doch eigentlich gar nichts über die Funktion, außer dass sie als [mm] \bruch{sin z}{cos z} [/mm] definiert ist.
Und das mit dem Wertebereich verstehe ich auch nicht, wie soll die Funktion denn einen Wertebereich von (- [mm] \infty, \infty) [/mm] haben, wenn sie doch auf das gegebene Intervall eingeschränkt ist?
Vielen Dank
Gruß Smex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Mo 28.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass die Einschränkung der Tangensfunktion
> tan(z) = [mm]\bruch{sin z}{cos z}[/mm] auf (- [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] ,
> [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] eine streng monotone, bijektive Abbildung
> mit Wertebereich (- [mm]\infty, \infty)[/mm] ist.
> Hi,
>
> also zunächst mal folgendes: Wenn ich bewiesen habe, dass
> die Funktion auf dem Intervall streng monoton ist, dann
> weiß ich doch schon, dass sie bijektiv ist, denn injektiv
> ist jede streng monotone Funktion und surjektiv ist sie als
> Funktion f: D nach f(D) und das ist doch hier der Fall,
> oder?
>
> Und jetzt kommt mein Problem: Wie beweise ich denn, dass
> die Funktion streng monoton ist, denn ich weiß doch
> eigentlich gar nichts über die Funktion, außer dass sie als
> [mm]\bruch{sin z}{cos z}[/mm] definiert ist.
Tipp: was gilt für die Ableitung einer streng monotonen, differenzierbaren Funktion?
> Und das mit dem Wertebereich verstehe ich auch nicht, wie
> soll die Funktion denn einen Wertebereich von (- [mm]\infty, \infty)[/mm]
> haben, wenn sie doch auf das gegebene Intervall
> eingeschränkt ist?
Hast du dir die ![[]](/images/popup.gif) Tangensfunktion überhaupt mal angeschaut?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Smex |
Achso natürlich...
daran hatte ich überhaupt nicht gedacht.
Vielen Dank
Gruß Smex
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