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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:31 Di 07.02.2006 | | Autor: | poochy |
| Aufgabe | ft(x)= lnx + (t:x)
An den Graphen von ft wird eine Tangente h so gelegt, dass sie die Koordinatenachsen in A (a,0) und B (0,a), a>0, schneidet.
Wie muss der Parameter t gewählt werden, damit diese Tangente den Graphen von ft im Punkt (2,ft(2)) berührt?
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Hallo!
Ich stecke bei dieser Aufgabe fest und wäre für Hilfe sehr dankbar!
Ok, als erstes habe ich die Tangentengleichung aufgestellt:
yt= (0,5-0,25t)(x-2) +ln2 + 0,5t
und bin dann auf die Form: yt= 0,25x(2-t) - 1 + t +ln2 gekommen.
Nun habe ich ja die Schnittpunkte mit den Achsen und habe die eingesetzt.
Schnittpunkt mit der x-Achse: 0,25a(2-t) -1 + t + ln2= 0
Schnittpunkt mit der y-Achse: -1 + t + l n2 = 0
Dann habe ich die Gleichungen (nachdem ich die erste nach a umgestellt hatte) gleichgesetzt und bin schlussendlich auf diese Gleichung gekommen:
t [mm] x^{2} [/mm] + t (ln2-7)- 6ln2 + 6.......
An dieser Stelle komme ich nicht weiter....keine Ahnung wie ich die quadratische Gleichung sinnvoll lösen soll...
Ich bin mir auch unsicher, was meinen Weg angeht....und bitte dringend um Hilfe!
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Di 07.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Poochy,
ich habe mir deinen Rechenweg angeschaut - deine Vorgehensweise ist prinzipiell richtig (auch wenn es einen einfacheren Weg gibt  ).
> und bin dann auf die Form: yt= 0,25x(2-t) - 1 + t +ln2
> gekommen.
Die Tangentengleichung ist richtig!
> Schnittpunkt mit der y-Achse: -1 + t + l n2 = 0
Hier hast du dich wahrscheinlich nur vertippt!
Es muss [mm] $-1+t+\ln{(2)}=a$ [/mm] heißen!
> Dann habe ich die Gleichungen (nachdem ich die erste nach a
> umgestellt hatte) gleichgesetzt
Das ist nicht sinnvoll! Du kannst dir das Lösen der quadratischen Gleichung ersparen, wenn du die zweite in die erste Gleichung einsetzt:
[mm] $0,25a(2-t)-1+t+\ln{(2)}=0,25a(2-t)+a=a(0,25(2-t)+1)=a(1,5-0,25t)=0$
[/mm]
Du weißt, dass $a>0$. Also welches [mm] $t\in\IR$ [/mm] erfüllt die Gleichung?
Alles klar? Ansonsten bitte nochmal nachfragen!
Hier nochmal ein anderer (vielleicht schnellerer) Lösungsweg in Frageform - ich bin sicher, du wirst das sofort nachvollziehen können!)
1. Welche Steigung hat eine Gerade, die durch die Punkte (0,a) und (a,0) verläuft?
2. Diese Gerade soll eine Tangente sein! Welche Steigung $m$ hat der Graph im Berührpunkt? (Fast eine rhetorische Frage!)
3. Wenn du die Ableitung $f'(x)=m$ setzt, erhältst du eine (einfache) quadratische Gleichung in $x$ mit dem Parameter $t$.
4. Löse die mal nach x auf (du erhältst zwei Werte in Abhängigkeit von $t$). Für welche $t$ ist einer der Werte gleich $2$?
Auf diese Weise muss man erst gar keine Tangentengleichung aufstellen!
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:53 Mi 08.02.2006 | | Autor: | poochy |
Hallo Yuma,
vielen Dank für die wirklich gut verständliche Antwort.
Der zweite Lösungsansatz ist ja eigentlich simpel, nur drauf kommen muss man erstmal....da haperts bei mir noch....Ich hoffe bis zum Abi klappt es...
Danke nochmal!:)
Gruß,
poochy
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