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| Aufgabe | Geg. sei die Funktion f(x)= [mm] \bruch{x^2-2x+1}{x+1} [/mm]
Für jedes [mm] n(n\IR) [/mm] existiert eine Gerade [mm] g_n [/mm] mit der Gleichung y= [mm] \bruch{3}{4}x+n.
[/mm]
Ermitteln Sie die Werte n, für die die Gerade [mm] g_n [/mm] Tangente an dem Graphen der Funktion f(x) ist.
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![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
Da m aus y= [mm] \bruch{3}{4}x+n [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
muss f'(x) an den Tangentenpunkten die Steigung m haben. Also f'(x)= [mm] \bruch{3}{4}.
[/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{x^2+2x-3}{(x+1)^2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} [/mm] ____ [mm] /*(x+1)^2 [/mm] NR.: [mm] (x+1)^2=(x^2+2x+1)
[/mm]
=> [mm] x^2+2x-3 [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}*(x^2+2x+1)
[/mm]
=> [mm] x^2+2x-3 [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}x^2 [/mm] + [mm] 1\bruch{1}{2}x [/mm] + [mm] \bruch{3}{4} [/mm] ____ [mm] /-x^2 [/mm] /-2x /+3
=> 0 = [mm] -\bruch{1}{4}x^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] + [mm] 3\bruch{3}{4}
[/mm]
für [mm] x_1= [/mm] 5 und für [mm] x_2= [/mm] -3 wäre die Gerade [mm] g_n [/mm] Tangente.
eingestzt in f(x) wären TP1 [mm] (5;2\bruch{2}{3}); [/mm] TP2 (-3;-8)
nun in y= [mm] \bruch{3}{4}x+n [/mm] für TP1 [mm] (5;2\bruch{2}{3}) [/mm] wäre [mm] n=\bruch{5}{12}
[/mm]
und für TP2 (-3;-8) wäre [mm] n=-6\bruch{1}{4}
[/mm]
Aber irgendwie bin ich damit nicht ganz zufieden....denn TP2(-3;-8) ist das Maximum von f(x). Kann dann die Tangentensteigung da [mm] \bruch{3}{4} [/mm] sein? Muss da nicht f'(x)= 0 sein?
Und irgendwie,finde ich, kommt für n etwas komisches raus. Ich weis nur nicht wo der Fehler liegt.
Danke schonmal für Eure Mühe. LG Markus
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Hallo Markus110,
> Geg. sei die Funktion f(x)= [mm]\bruch{x^2-2x+1}{x+1}[/mm]
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> Für jedes [mm]n(n\IR)[/mm] existiert eine Gerade [mm]g_n[/mm] mit der
> Gleichung y= [mm]\bruch{3}{4}x+n.[/mm]
> Ermitteln Sie die Werte n, für die die Gerade [mm]g_n[/mm] Tangente
> an dem Graphen der Funktion f(x) ist.
>
>
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> Da m aus y= [mm]\bruch{3}{4}x+n[/mm] = [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
> muss f'(x) an den Tangentenpunkten die Steigung m haben.
> Also f'(x)= [mm]\bruch{3}{4}.[/mm]
>
> f'(x)= [mm]\bruch{x^2+2x-3}{(x+1)^2}[/mm] = [mm]\bruch{3}{4}[/mm] ____
> [mm]/*(x+1)^2[/mm] NR.: [mm](x+1)^2=(x^2+2x+1)[/mm]
>
> => [mm]x^2+2x-3[/mm] = [mm]\bruch{3}{4}*(x^2+2x+1)[/mm]
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> => [mm]x^2+2x-3[/mm] = [mm]\bruch{3}{4}x^2[/mm] + [mm]1\bruch{1}{2}x[/mm] +
> [mm]\bruch{3}{4}[/mm] ____ [mm]/-x^2[/mm] /-2x /+3
>
> => 0 = [mm]-\bruch{1}{4}x^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}x[/mm] +
> [mm]3\bruch{3}{4}[/mm]
>
>
> für [mm]x_1=[/mm] 5 und für [mm]x_2=[/mm] -3 wäre die Gerade [mm]g_n[/mm] Tangente.
Hier ist Dir ein Vorzeichenfehler passiert.
Die Lösungen der quadratischen Gleichung lauten [mm]x_{1}=\red{-}5[/mm] und [mm]x_{2}=\red{+}3[/mm].
Dann stimmt das auch.
>
> eingestzt in f(x) wären TP1 [mm](5;2\bruch{2}{3});[/mm] TP2 (-3;-8)
>
>
> nun in y= [mm]\bruch{3}{4}x+n[/mm] für TP1 [mm](5;2\bruch{2}{3})[/mm] wäre
> [mm]n=\bruch{5}{12}[/mm]
>
> und für TP2 (-3;-8) wäre [mm]n=-6\bruch{1}{4}[/mm]
>
> Aber irgendwie bin ich damit nicht ganz zufieden....denn
> TP2(-3;-8) ist das Maximum von f(x). Kann dann die
> Tangentensteigung da [mm]\bruch{3}{4}[/mm] sein? Muss da nicht
> f'(x)= 0 sein?
> Und irgendwie,finde ich, kommt für n etwas komisches
> raus. Ich weis nur nicht wo der Fehler liegt.
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> Danke schonmal für Eure Mühe. LG Markus
>
>
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>
Gruß
MathePower
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