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Hallo,
habe einen Punkt P(2,0) gegeben und soll nun die Tangente für den Graphen [mm] x^3 [/mm] berechnen. Eigendlich ganz billig aber ich stehe auf dem Schlauch ... wer hilft mir????
Danke schonmal im vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Do 05.05.2005 | | Autor: | Andi |
Hi Speedy,
zunächst einmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> habe einen Punkt P(2,0) gegeben und soll nun die Tangente
> für den Graphen [mm]x^3[/mm] berechnen. Eigendlich ganz billig aber
> ich stehe auf dem Schlauch ... wer hilft mir????
also seh ich das richtig, das die funktion [mm]f(x)=x^3[/mm] ist ?
Und du willst eine Tangente durch den Punkt P(2,0) an den Graphen legen?
Dann schaut die Gleichung der Tangente im allgemeinen so aus:
[mm]y=m*x+t[/mm]
Wir wissen, dass der Punkt P auf der Tangente liegt.
Also muss er die Gleichung erfüllen:
[mm]0=m*2+t[/mm]
Außerdem muss die Tangente auch den Graphen berühren.
Das heißt, es gibt einen Punkt B(x,y) geben,
der sowohl auf der Tangente als auch auf den Graphen liegt.
Er erfüllt beide Funktionsgleichungen:
[mm]y=x^3[/mm] und
[mm]y=m*x+t[/mm]
Mit dem Gleichsetzungsverfahren erhalten wir:
[mm]x^3=m*x+t[/mm]
Außerdem ist die Steigung des Graphen an diesem Punkt gleich der Steigung der Tangente.
[mm]f'(x)=3x^2=m[/mm]
Wir haben also insgesamt folgendes Gleichungssystem:
[mm]x^3=m*x+t[/mm]
[mm]0=m*2+t[/mm]
[mm]f'(x)=3x^2=m[/mm]
Dieses musst du nun lösen. Viel Spass dabei.
Und entschuldige nochmals, dass ich zuerst ein wenig Schmarrn erzählt habe.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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alles klar die Tangente heißt dann als y = 12x -24
aber warum f'(2) ???
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Hallo,
> alles klar die Tangente heißt dann als y = 12x -24
>
> aber warum f'(2) ???
weil der Punkt P(2/0) gegeben ist.
Gruß
MathePower
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wie kann ich 0 = [mm] x^3 [/mm] -12x+24 geschickt nach x auflösen ohne Taschenrechner????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Do 05.05.2005 | | Autor: | Andi |
Hallo Speedy,
> wie kann ich 0 = [mm]x^3[/mm] -12x+24 geschickt nach x auflösen ohne
> Taschenrechner????
Wie kommst du auf diese Gleichung ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 Do 05.05.2005 | | Autor: | speedy-99 |
ich habe [mm] f(x)=x^3 [/mm] mit t(x)=12x -24 gleichgesetzt um den Schnittpunkt zu bestimen (also den zweiten neben der Berührungsstelle)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:02 Do 05.05.2005 | | Autor: | Andi |
Ich hab deine Frage in eine Mitteilung geändert, da sie ja jetzt nicht mehr relevant ist. Schau dir meine neue Antwort an. Und stelle dort eine neue Frage wenn etwas unklar ist.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:48 Do 05.05.2005 | | Autor: | Andi |
Hi Speedy,
sorry aber mir ist gerade aufgefallen, dass ich deine Frage vollkommen falsch verstanden habe. Du bekommst gleich eine richtige Antwort von mir !!
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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Hi, speedy,
da der Punkt P(2; 0) nicht auf dem Graphen von f liegt, musst Du den Berührpunkt auf dem Graphen zunächst als unbekannt ansehen: Q(x; [mm] x^{3})
[/mm]
Die Tangentensteigung berechnet sich nun einerseits als Wert der Ableitung in diesem Punkt, also: m = f'(x) = [mm] 3x^{2},
[/mm]
andererseits als Steigung der Geraden durch die Punkte P und Q, also:
m = [mm] \bruch{x^{3} - 0}{x - 2} [/mm] ("Steigungsdreieck"!)
Durch Gleichsetzen der beiden Steigungen erhältst Du:
[mm] 3x^{2} [/mm] = [mm] \bruch{x^{3} - 0}{x - 2}
[/mm]
Und hieraus nach Umformung: [mm] 2x^{3} [/mm] - [mm] 6x^{2} [/mm] = 0.
Die Lösungen sind: [mm] x_{1} [/mm] = 0 und [mm] x_{2} [/mm] = 3.
Es gibt also 2 Punkte [mm] Q_{1} [/mm] und [mm] Q_{2} [/mm] auf dem Graphen von f, deren Tangenten durch P(2;0) gehen:
[mm] Q_{1}(0;0) [/mm] und [mm] Q_{2}(3;27).
[/mm]
Die erste Tangentengleichung ist ganz einfach: y=0.
Die zweite Tangentengleichung (also in [mm] Q_{2}) [/mm] ist: y=27x - 54.
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bin auch auf die Tangenten y = 27x -54 und y = 0 gekommen durch lösen des Gleichungssystems
ist y = 0 eigendlich überhaupt eine Tangente, den [mm] x^3 [/mm] hat doch bei y = 0 einen Sattelpunkt und somit dort keine Tangente oder bin ich da jetzt falsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Do 05.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo speedy
doch, eine Tangente darf auch durch die Kurve gehen! Wichtig ist nur, dass die Tangente im "Berührungspunkt" die gleiche Richtung aufweist wie die Kurve selber! Und [mm] $y=x^3$ [/mm] ist ja im Punkt (0,0) horizontal!
Mit lieben Grüssen
Pau
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