Tangente < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Kuriger |
hallo
Die Kurve [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2)^2 [/mm] = 4xy hat für einen bestimmen Winkel [mm] \alpha, [/mm] 0 < [mm] \alpha [/mm] < 90° eine horizontale Tangente
Ich hätte da Zwei Anstätze
Ansatz 1: Über Polarkoordinate
Ansatz 2: Über implizites Ableiten
Also ich versuchs mal mit Ansatz 1:
[mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2)^2 [/mm] = 4xy
[mm] (r^2)^2 [/mm] = [mm] 4*r^2 [/mm] * [mm] cos(\alpha) [/mm] * [mm] sin(\alpha)
[/mm]
[mm] (r^4 [/mm] = [mm] 4*r^2 [/mm] * [mm] cos(\alpha) [/mm] * [mm] sin(\alpha)
[/mm]
[mm] r^2 [/mm] = 4 * [mm] cos(\alpha) [/mm] * [mm] sin(\alpha)
[/mm]
Nun ist mein problem, dass ich dolfende Gleichenform brauche: r = ....
r = [mm] 2*\wurzel{cos(\alpha) * sin(\alpha)}
[/mm]
y = [mm] 2*\wurzel{cos(\alpha) * sin(\alpha)} [/mm] * [mm] sin(\alpha)
[/mm]
Es muss gelten
y' = 0, da horizontale Tangente
y' = 2* (.....) befürchte ich bin auf dem Holzweg
Aber wo liegt das Problem?
versuchs drum noch mit dem zweiten Ansatz
[mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2)^2 [/mm] -4xy =0
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = - [mm] \bruch{F_x}{F_y} [/mm] = - [mm] \bruch{2*(x^2 + y^2)*2x -4y }{2*(x^2 + y^2)*2y -4x}
[/mm]
m = [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] bruch{\Delta y }{\Delta y }
[/mm]
Damit die Steigung m = 0 ist, muss [mm] \Delta [/mm] y = 0 sein
Was heisst das nun? Muss [mm] F_y [/mm] = 0 sein? Also
0 = [mm] 2*(x^2 [/mm] + [mm] y^2)*2y [/mm] -4x
Aber da habe ich ja zwei Unbekannte
Ich stehe leider an...
Also reauskommen sollte [mm] \alpha [/mm] = 60°
Danke für die Hilfe
gruss Kuriger
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Also ich versuch nochmals was. Beim ersten Ansatz hatte ich:
[mm] r(\alpha)^2 [/mm] = 4 * [mm] cos(\alpha) [/mm] * [mm] sin(\alpha)
[/mm]
Nun mache ich mal davond ie Ableitung
[mm] 2r(\alpha)*r'(\alpha) [/mm] = 4 * [mm] cos(\alpha) [/mm] * [mm] sin(\alpha)
[/mm]
Das bringt mich auch nicht weiter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Mi 22.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo
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> Also ich versuch nochmals was. Beim ersten Ansatz hatte
> ich:
>
> [mm]r(\alpha)^2[/mm] = 4 * [mm]cos(\alpha)[/mm] * [mm]sin(\alpha)[/mm]
>
> Nun mache ich mal davond ie Ableitung
>
> [mm]2r(\alpha)*r'(\alpha)[/mm] = 4 * [mm]cos(\alpha)[/mm] * [mm]sin(\alpha)[/mm]
>
> Das bringt mich auch nicht weiter
Hallo,
es gilt übrigens 2* [mm] sin\alpha *cos\alpha [/mm] = [mm] sin(2\alpha).
[/mm]
In deinem letzten Schritt hast du die linke Seite abgeleitet; die rechte aber nicht?
Gruß Abakus
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Hallo Kuriger,
> hallo
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> Die Kurve [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2)^2[/mm] = 4xy hat für einen bestimmen
> Winkel [mm]\alpha,[/mm] 0 < [mm]\alpha[/mm] < 90° eine horizontale Tangente
>
> Ich hätte da Zwei Anstätze
> Ansatz 1: Über Polarkoordinate
> Ansatz 2: Über implizites Ableiten
>
> Also ich versuchs mal mit Ansatz 1:
> [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2)^2[/mm] = 4xy
> [mm](r^2)^2[/mm] = [mm]4*r^2[/mm] * [mm]cos(\alpha)[/mm] * [mm]sin(\alpha)[/mm]
> [mm](r^4[/mm] = [mm]4*r^2[/mm] * [mm]cos(\alpha)[/mm] * [mm]sin(\alpha)[/mm]
> [mm]r^2[/mm] = 4 * [mm]cos(\alpha)[/mm] * [mm]sin(\alpha)[/mm]
>
> Nun ist mein problem, dass ich dolfende Gleichenform
> brauche: r = ....
> r = [mm]2*\wurzel{cos(\alpha) * sin(\alpha)}[/mm]
>
> y = [mm]2*\wurzel{cos(\alpha) * sin(\alpha)}[/mm] * [mm]sin(\alpha)[/mm]
>
> Es muss gelten
> y' = 0, da horizontale Tangente
Zunächst gilt: [mm]y'=\bruch{\bruch{d}{d\alpha}\left( \ r\left(\alpha\right)*\sin\left(\alpha\right) \ \right)}{\bruch{d}{d\alpha}\left( \ r\left(\alpha\right)*\cos\left(\alpha\right) \ \right)}[/mm]
Der Zähler dieses Ausdruck muss 0 werden,
und der Nenner darf an dieser Stelle nicht verschwinden.
> y' = 2* (.....) befürchte ich bin auf dem Holzweg
>
>
> Aber wo liegt das Problem?
>
Ich weiss es nicht.
>
> versuchs drum noch mit dem zweiten Ansatz
> [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2)^2[/mm] -4xy =0
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = - [mm]\bruch{F_x}{F_y}[/mm] = - [mm]\bruch{2*(x^2 + y^2)*2x -4y }{2*(x^2 + y^2)*2y -4x}[/mm]
>
> m = [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]bruch{\Delta y }{\Delta y }[/mm]
>
> Damit die Steigung m = 0 ist, muss [mm]\Delta[/mm] y = 0 sein
>
> Was heisst das nun? Muss [mm]F_y[/mm] = 0 sein? Also
> 0 = [mm]2*(x^2[/mm] + [mm]y^2)*2y[/mm] -4x
Der Zähler des Ausdrucks [mm]-\bruch{F_{x}}{F_{y}}[/mm] muss 0 werden.
Der Nenner darf jedoch an dieser Stelle nicht verschwinden.
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> Aber da habe ich ja zwei Unbekannte
Setze dann für x und Polarkoordinaten ein,
wobei Du hier das [mm]r\left(\alpha\right)[/mm] schon berechnet hast.
>
> Ich stehe leider an...
>
> Also reauskommen sollte [mm]\alpha[/mm] = 60°
>
> Danke für die Hilfe
>
> gruss Kuriger
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Do 23.12.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
[mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = - [mm]\bruch{F_x}{F_y}[/mm] = - [mm]\bruch{2*(x^2 + y^2)*2x -4y }{2*(x^2 + y^2)*2y -4x}[/mm]
Setze dann für x und Polarkoordinaten ein,
wobei Du hier das [mm] r(\alpha) [/mm] schon berechnet hast.
Das verstehe ich nicht. Wo soll [mm] r(\alpha) [/mm] berechent sein?
Meinst du...
[mm] r^2(\alpha) [/mm] = [mm] 4*cos(\alpha) [/mm] * [mm] sin(\alpha)
[/mm]
r = [mm] 2*\wurzel{cos(\alpha) * sin(\alpha)}
[/mm]
m = - [mm] \bruch{2*(r^2)*2(r*cos(\alpha) -4*r*sin(\alpha) }{2*(r^2)*2*r*sin(\alpha) -4*r*cos(\alpha)}
[/mm]
Ich setze den Zähler Null und schaue was rauskommt, dann setze ich den Wert in den nenner ein, um zu sehen, dass es dort nicht null gibt
0 = [mm] 2*(r^2)*2(r*cos(\alpha) -4*r*sin(\alpha) [/mm]
Nun setze ich ein:
0 = [mm] 2*(4*cos(\alpha) [/mm] * [mm] sin(\alpha))*2(2*\wurzel{cos(\alpha) * sin(\alpha)}*cos(\alpha) -4*2*\wurzel{cos(\alpha) * sin(\alpha)}*sin(\alpha) [/mm]
Nun könnte ich das vielleicht noch mit der von abakus genannter trigonometrischen Beziehung etwas vereinfachen
[mm] sin(2\alpha) [/mm] = [mm] 2*sin(\alpha) [/mm] * [mm] cos(\alpha)
[/mm]
0 = [mm] 32*cos(\alpha) [/mm] * [mm] sin(\alpha))*\wurzel{cos(\alpha) * sin(\alpha)}*cos(\alpha) -8*\wurzel{cos(\alpha) * sin(\alpha)}*sin(\alpha) [/mm]
0 = [mm] 8*\wurzel{cos(\alpha) * sin(\alpha)}*sin(\alpha) [/mm] * [mm] (4*cos(\alpha) [/mm] -1)
Nun wäre eigentlich eine Lösung
0 = [mm] 4*cos(\alpha) [/mm] -1
[mm] \bruch{1}{4} [/mm] = [mm] cos(\alpha)
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] = [mm] arcos(\bruch{1}{4})
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] = 1.32rad = 75.52...was nicht stimmt
Gruss Kuriger
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Entschuldige, daß ich mir nicht alles durchgelesen habe, was du geschrieben hast. Das ist mir einfach zu kompliziert. Ich würde ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen in [mm]x,y[/mm] aufstellen. Da der gesuchte Punkt [mm](x,y)[/mm] das Argument 60° besitzen soll, liegt er im I.Quadranten und man darf [mm]x,y>0[/mm] annehmen.
Die Ableitung nach [mm]x[/mm] sei durch einen Strich bezeichnet. Dann erhält man aus
[mm]\left( x^2 + y^2 \right)^2 = 4xy[/mm]
durch Differentiation nach [mm]x[/mm] die Gleichung
[mm]\left( x^2 + y^2 \right) \left( x + yy' \right) = y + xy'[/mm]
Setzt man jetzt [mm]y'=0[/mm], so hat man das folgende nichtlineare Gleichungssystem für [mm]x,y>0[/mm] zu lösen:
[mm]\begin{matrix} \text{(I)} & \left( x^2 + y^2 \right)^2 = 4xy \\ \text{(II)} & x \left( x^2 + y^2 \right) = y \end{matrix}[/mm]
Man kann jetzt zum Beispiel [mm]\text{(II)}[/mm] quadrieren und darin [mm]\left( x^2 + y^2 \right)^2[/mm] gemäß der ersten Gleichung ersetzen, woraus man
[mm]\begin{matrix} \text{(III)} & y = 4x^3 \end{matrix}[/mm]
erhält. Setzt man das in die originale Gleichung [mm]\text{(II)}[/mm] ein, kann man [mm]x[/mm] berechnen und mit [mm]\text{(III)}[/mm] dann [mm]y[/mm]. Mit den gefundenen Werten für [mm]x,y[/mm] macht man die Probe, ob sie [mm]\text{(I),(II)}[/mm] wirklich erfüllen, denn nicht alle Umformungen, die auf die vermeintliche Lösung geführt haben, waren Äquivalenzumformungen. Mit
[mm]\tan \alpha = \frac{y}{x}[/mm]
bekommt man dann [mm]\alpha[/mm] heraus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Do 23.12.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Nun versuch ich es auch noch mithilfe dieser Formel
[mm] y'=\bruch{\bruch{d}{d\alpha}\left( \ r\left(\alpha\right)\cdot{}\sin\left(\alpha\right) \ \right)}{\bruch{d}{d\alpha}\left( \ r\left(\alpha\right)\cdot{}\cos\left(\alpha\right) \ \right)}
[/mm]
In meiner Formelsammlung finde ich folgendes
[mm] \bruch{dy}{dx} (\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{sin(\alpha) \bruch{dr}{d (\alpha)} (\alpha) + r(\alpha) * cos(\alpha)}{cos(\alpha) \bruch{dr}{d (\alpha)} (\alpha) - r(\alpha) * sin(\alpha)}
[/mm]
Ist das das gleiche?
Nun hatte ich ja berechnet:
[mm] r^2 [/mm] = 4 * [mm] cos(\alpha) [/mm] * [mm] sin(\alpha)
[/mm]
r = [mm] 2*\wurzel{cos(\alpha) * sin(\alpha)}
[/mm]
Ich muss in dieser Formel offensichtlich folgende Ableitung machen [mm] \bruch{dr}{d (\alpha)} (\alpha)
[/mm]
[mm] \bruch{dr}{d (\alpha)} (\alpha) [/mm] = [mm] 2*(\bruch{-sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha)}{\wurzel{cos(\alpha) * sin(\alpha)}}
[/mm]
Also nun mal den ganzen Zähler null gesetzt
0 = [mm] sin(\alpha) [/mm] * [mm] 2*(\bruch{-sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha)}{\wurzel{cos(\alpha) * sin(\alpha)}} [/mm] + [mm] 2*\wurzel{cos(\alpha) * sin(\alpha)} [/mm] * [mm] cos(\alpha)
[/mm]
da scheint nicht mehr viel zu gehen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Do 23.12.2010 | | Autor: | Kuriger |
Ich verstehe eifnach nicht, weshalb ich hier nicht wie gewohnt vorgehen kann.
Suche die Horizontale Tangente der Funktion
r = 1 - [mm] cos(\alpha)
[/mm]
y = (1 - [mm] cos(\alpha))* [/mm] sin [mm] (\alpha)
[/mm]
y' = ........= 0
und schon habe ich den Winkel
gruss Kuriger
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Wegen
[mm]\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} \alpha}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d} \alpha}}[/mm]
befinden sich Punkte mit horizontaler Tangente dort, wo
[mm]\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} \alpha} = 0[/mm]
wird, sofern nicht gleichzeitig der Nenner oben verschwindet. Mit
[mm]r = \sqrt{2 \sin(2 \alpha)} \, , \ \ \alpha \in \left[ 0 , \frac{\pi}{2} \right] \cup \left[ \pi, \frac{3 \pi}{2} \right][/mm]
erhält man wegen [mm]y = r \sin \alpha[/mm] als Parameterfunktion für die [mm]y[/mm]-Koordinate:
[mm]y = \sqrt{2 \sin(2 \alpha)} \cdot \sin \alpha[/mm]
Die Ableitung ist
[mm]\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} \alpha} = \frac{\sqrt{2} \cdot \left( \sin(2 \alpha) \cos \alpha + \cos(2 \alpha) \sin \alpha \right)}{\sqrt{\sin(2 \alpha)}}[/mm]
Und die Nullstellensuche führt auf die Gleichung
[mm]\sin(2 \alpha) \cos \alpha + \cos(2 \alpha) \sin \alpha = 0[/mm]
[mm]\sin(2 \alpha) \cos \alpha = - \cos(2 \alpha) \sin \alpha[/mm]
[mm]\tan(2 \alpha) = - \tan \alpha[/mm]
[mm]\tan(2 \alpha) = \tan(-\alpha)[/mm]
Da der Tangens die Periode [mm]\pi[/mm] besitzt, schließt man aus der Gleichheit der Funktionswerte
[mm]2 \alpha = - \alpha + k \pi \, , \ \ k \in \mathbb{Z}[/mm]
[mm]\alpha = k \cdot \frac{\pi}{3}[/mm]
Für [mm]k=1[/mm] erhält man einen zulässigen Parameterwert. Er gehört zu einem Punkt im I. Quadranten.
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Hallo Kuriger,
> Hallo
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> Nun versuch ich es auch noch mithilfe dieser Formel
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> [mm]y'=\bruch{\bruch{d}{d\alpha}\left( \ r\left(\alpha\right)\cdot{}\sin\left(\alpha\right) \ \right)}{\bruch{d}{d\alpha}\left( \ r\left(\alpha\right)\cdot{}\cos\left(\alpha\right) \ \right)}[/mm]
>
> In meiner Formelsammlung finde ich folgendes
> [mm]\bruch{dy}{dx} (\alpha)[/mm] = [mm]\bruch{sin(\alpha) \bruch{dr}{d (\alpha)} (\alpha) + r(\alpha) * cos(\alpha)}{cos(\alpha) \bruch{dr}{d (\alpha)} (\alpha) - r(\alpha) * sin(\alpha)}[/mm]
>
> Ist das das gleiche?
>
> Nun hatte ich ja berechnet:
> [mm]r^2[/mm] = 4 * [mm]cos(\alpha)[/mm] * [mm]sin(\alpha)[/mm]
> r = [mm]2*\wurzel{cos(\alpha) * sin(\alpha)}[/mm]
>
> Ich muss in dieser Formel offensichtlich folgende Ableitung
> machen [mm]\bruch{dr}{d (\alpha)} (\alpha)[/mm]
> [mm]\bruch{dr}{d (\alpha)} (\alpha)[/mm]
> = [mm]2*(\bruch{-sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha)}{\wurzel{cos(\alpha) * sin(\alpha)}}[/mm]
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> Also nun mal den ganzen Zähler null gesetzt
>
> 0 = [mm]sin(\alpha)[/mm] * [mm]2*(\bruch{-sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha)}{\wurzel{cos(\alpha) * sin(\alpha)}}[/mm]
> + [mm]2*\wurzel{cos(\alpha) * sin(\alpha)}[/mm] * [mm]cos(\alpha)[/mm]
>
> da scheint nicht mehr viel zu gehen
Du kannst z.B. den Ausdruck auf der rechten Seite
auf den Hauptnenner bringen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Do 23.12.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Ich würde gerne mal diese Funktion aufzeichnen. Doch mit Geogebra geht das wohl nicht? Weil diese Funktion ist ja etwas speziel...
Danke, Gruss Kuriger
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Do 23.12.2010 | | Autor: | Pappus |
> Hallo
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> Ich würde gerne mal diese Funktion aufzeichnen. Doch mit
> Geogebra geht das wohl nicht? Weil diese Funktion ist ja
> etwas speziel...
>
> Danke, Gruss Kuriger
Guten Abend!
Diese Funktion ist eine Relation und heißt Lemniskate. (Kann man googlen)
Und so sieht sie aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gezeichnet mit Derive.
Salve
Pappus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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