Tangente - Konstruktion DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:26 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Omega82 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Kurven y=y(x), deren Tangente, wenn man sie mit den Koordinatenachsen schneidet, immer vom ersten zum zweiten Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen die Länge a hat. |
Hallo,
ich habe ein Lösung, die ich mir jedoch wenig intuitiv vorstellen kann.
Meine Überlegungen sind folgende:
OE: a>0
Ich stelle mir die Fläche als ein Dreieck vor, das jeweils an (0,0) ein 90°-Winkel hat; die Seitenlängen sind x und y und die Hypothenuse ist a.
X und y sind variabel, verschiebbar, und a ist fest für alle x,y, die dort noch sind machen.
D. h. die Hypothenusenposition gibt mir die Steigung, also y'(x) an.
Dann ist für y'(x)=0 ==> x=a und ebenso für [mm] y'(x)=\infty [/mm] ==> y=a.
Also ist das Definitionsintervall I=[-a,a].
Wenn ich jetzt mit dem Cosinus an die Winkelbestimmung, als Steigung, also y'(x) gehen, dann müsste ich doch folgendes haben:
[mm] y'=\pm [/mm] arccos(x/a) für alle x [mm] \in [/mm] I=[-a,a]
Wenn ich dies integriere, erhalten ich:
[mm] y=\pm x*arccos(x/a)-\wurzel{a^2-x^2}
[/mm]
Bin ich soweit richtig?
Mein Bild, so wie ich mit die Situation nämlich vorstelle, sieht aus, wie [mm] y=\bruch{1}{xa}. [/mm] Nicht genauso, aber ich stelle mir halt eine Funktion vor, die y und x als Asymptote hat und für x-->0 gegen [mm] \infty [/mm] und für [mm] x-->\infty [/mm] gegen 0 strebt. Dies zumindest für x>0 und y>0 passiert. Analog in den anderen 3 Quadranten.
Danke schon einmal.
Omega
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So, habe eine alternative Herangehensweise:
Statt nach y'(x) aufzulösen, versuche ich die Funktion als implizite Dgl. zu betrachten, d. h.
[mm] cos(y')=\bruch{x}{a}
[/mm]
Dann mit dem Ansatz von F(x,y)=x und der Substitution von p=y' an die Sache gehen.
Nun habe ich zwei Lösungen.
x(p) = F(p)=cos(p)
und
y(p)=c + [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{p}{a}*cos(p)dp} [/mm] __ [mm] c\in \IR
[/mm]
Stimmt das bisher?
Grüße,
Omega82
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Mi 01.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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