Tangente am Einheitskreis < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Fr 21.03.2014 | | Autor: | Gabbabin |
| Aufgabe | Wir betrachten die obere Hälfte des Einheitskreises H.
a) Gebe H als Graph einer Funktion f an.
b) Bestimme die Ableitung f´.
c) Zeige f¨ur jeden Punkt P ∈ H , dass die Gerade OP senkrecht steht
auf der Tangenten in P an H . |
Ich habe a und b gelöst.
a)
[mm] 1^{2} [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] ⇒ y = [mm] \wurzel{x^{2}-1}
[/mm]
f : [1, 1] → [0, 1]
x → f(x):= [mm] \wurzel{x^{2}-1}
[/mm]
b)
f(x) = u(v(x)) mit
v(x) = [mm] x^{2} [/mm] - 1
u(x) [mm] =\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \wurzel{x} [/mm] = [mm] x^1/2
[/mm]
u´(x) [mm] =\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{x}}
[/mm]
v´(x)=2x
f´(x) = v´(x)*u´(v(x))
[mm] =2x*\bruch{1}{2}(x^{2}-1)^-{\bruch{1}{2}}=2x*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{x^{2}-1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2x}{2*\wurzel{x^{2}-1}}=\bruch{x}{\wurzel{x^{2}-1}}
[/mm]
c)
[mm] $P=(x,\sqrt{x^2-1})$
[/mm]
$y=mx+b$ [mm] \rightarrow \sqrt{x^2-1}= \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}x+b
[/mm]
[mm] \\\sqrt{x^2-1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=b
[/mm]
[mm] \\=$\frac{(\sqrt{x^2-1})^2-x^2}{\sqrt{x^2-1}}= \newline
[/mm]
[mm] -\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$, [/mm] da
[mm] \\ \Rightarrow $(\sqrt{x^2-1})^2-x^2=-1$
[/mm]
[mm] \\ \Rightarrow $(\sqrt{x^2-1})^2=x^2-1
[/mm]
[mm] \\ \Rightarrow $x^2-1-x^2=-1
[/mm]
[mm] \\ $\Rightarrow \frac{x^2-1-x^2}{\sqrt{x^2-1}}$ [/mm] = [mm] $\frac{-1}{\sqrt{x^2-1}}$ [/mm]
[mm] $y=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}x+\frac{-1}{\sqrt{x^2-1}}$
[/mm]
Ist das soweit richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Fr 21.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrachten die obere Hälfte des Einheitskreises H.
> a) Gebe H als Graph einer Funktion f an.
> b) Bestimme die Ableitung f´.
> c) Zeige f¨ur jeden Punkt P ∈ H , dass die Gerade OP
> senkrecht steht
> auf der Tangenten in P an H .
> Ich habe a und b gelöst.
>
> a)
>
> [mm]1^{2}[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] ⇒ y = [mm]\wurzel{x^{2}-1}[/mm]
Nein. Richtig: [mm] y=\wurzel{1-x^2}
[/mm]
>
> f : [1, 1] → [0, 1]
>
> x → f(x):= [mm]\wurzel{x^{2}-1}[/mm]
S.0.
>
> b)
>
> f(x) = u(v(x)) mit
>
> v(x) = [mm]x^{2}[/mm] - 1
> u(x) [mm]=\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]\wurzel{x}[/mm] = [mm]x^1/2[/mm]
> u´(x)
> [mm]=\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm]
>
> v´(x)=2x
>
> f´(x) = v´(x)*u´(v(x))
>
> [mm]=2x*\bruch{1}{2}(x^{2}-1)^-{\bruch{1}{2}}=2x*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{x^{2}-1}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2x}{2*\wurzel{x^{2}-1}}=\bruch{x}{\wurzel{x^{2}-1}}[/mm]
Da Dein f oben falsch war, ist auch Deine Ableitung falsch.
>
> c)
>
> [mm]P=(x,\sqrt{x^2-1})[/mm]
> [mm]y=mx+b[/mm] [mm]\rightarrow \sqrt{x^2-1}= \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}x+b[/mm]
Jetzt wirds chaotisch ! Die Gleichung der Tangente in P soll wohl
y=mx+b
sein. Der Punkt P ist fest. Dann kannst Du für ihn nicht die Laufvariable in der Tangentengl. benutzen, also besser
[mm] $P=(u,\sqrt{1-u^2})$
[/mm]
Dann ist m=f'(u).
Ist n die Steigung der Gerade OP, so musst Du nur zeigen:
$n*f'(u)=-1$
FRED
>
> [mm]\\\sqrt{x^2-1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=b[/mm]
>
> [mm]\\=$\frac{(\sqrt{x^2-1})^2-x^2}{\sqrt{x^2-1}}= \newline[/mm]
>
> [mm]-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$,[/mm] da
>
> [mm]\\ \Rightarrow[/mm] [mm](\sqrt{x^2-1})^2-x^2=-1[/mm]
> [mm]\\ \Rightarrow $(\sqrt{x^2-1})^2=x^2-1[/mm]
> [mm]\\ \Rightarrow $x^2-1-x^2=-1[/mm]
>
> [mm]\\[/mm] [mm]\Rightarrow \frac{x^2-1-x^2}{\sqrt{x^2-1}}[/mm] =
> [mm]\frac{-1}{\sqrt{x^2-1}}[/mm]
>
> [mm]y=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}x+\frac{-1}{\sqrt{x^2-1}}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
>
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