Tangente am Kreis < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Mo 19.03.2007 | | Autor: | m.styler |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\wurzel{25-x²} [/mm] ; S(-1/7)
Tangente am Kreis via Ableitung. |
Hallo!
Mein Ergebnis für die Tangente am Kreis ist t(x)=4,9x+11,9
Habe ich richtig gerechnet??
danke im voraus!
mfg m.styler
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Hallo m.styler,
ich glaube, das kommt irgendwie nicht hin.
gesucht ist die Tangente im Punkt S=(-1/7) von f,
Die Tangentengleichung an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] ist doch:
[mm] t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot{}(x-x_0)
[/mm]
Wenn ich das mal so auf die Schnelle einsetze, stimmt das nicht mit deinem Ergebnis überein ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Was hast du denn für die Ableitung von f heraus?
Vielleicht ist ja da ein Fehler - vorausgesetzt ich hab mich nicht verrechnet 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mo 19.03.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Ich habe so gerechnet
[mm] f´(x)=-2x*0,5*\bruch{1}{25-x²} [/mm] <--kommt da vielleicht statt 0,5=-0,5?
[mm] f´(x)=-x*\bruch{1}{25-x²}
[/mm]
[mm] f´(-1)=-2*(-1)*0,5*\bruch{1}{25-(-1)²}
[/mm]
[mm] f´(-1)=1*\bruch{1}{25-(-1)²}
[/mm]
[mm] f´(-1)=\bruch{1}{25-(-1)²}=\bruch{1}{25-1}
[/mm]
f´(-1)=4,9
t(x)=4,9x+b
7=4,9*(-1)+b
b=-4,9*(-1)+7
b=11,9
t(x)=4,9x+11,9
Was habe ich da falsch gemacht?
danke im voraus!
mfg m.styler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 Mo 19.03.2007 | | Autor: | riwe |
siehe meine antwort: der fehler liegt darin, dass S nicht auf dem kreis liegt, daher bringt dir die ableitung nichts.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mo 19.03.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Ok, aber wäre die Ableitung fehlerfrei?
Und, wann ist es angebracht diese zu zuberechnen?
mfg m.styler
danke im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Mo 19.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, deine Abl. ist richtig!
jetzt eine Tangente durch (x1,f(x1)), steigung f'(x1)
dann S einsetzen und daraus x1 berechnen.
Grus leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Mo 19.03.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Also, ich habe dann t(x)=0,2x+6,8 raus!
Ist das richtig??
mfg m.styler
danke im voraus!
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Hallo m.styler,
das stimmt leider nicht.
Wenn du dir mal eine Zeichnung machst, siehst du, dass es 2 Tangenten an f gibt, die durch den Punkt S gehen - ich hab's mal in den Anhang gepackt.
Ich hatte bei meinem ersten post allerdings tatsächlich übersehen, dass S gar nicht auf dem Kreis liegt. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Aber gesucht sind ja die Punkte [mm] P_0=(x_0/f(x_0)) [/mm] und [mm] P_1=(x_1/f(x_1)), [/mm] die auf dem Halbkreis liegen und deren Tangenten durch S gehen.
Also ist der Anfang mit der Ableitung gut.
Die ist leider bei dir oben falsch:
[mm] f(x)=\wurzel{25-x^2} \Rightarrow f'(x)=\bruch{1}{2\cdot{}\wurzel{25-x^2}}\cdot{}(-2x)=\bruch{-x}{\wurzel{25-x^2}}
[/mm]
Also ist die Tangentengleichung durch [mm] P_0:
[/mm]
[mm] t_0(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=\wurzel{25-x_0^2}+\bruch{-x_0}{\wurzel{25-x_0^2}}(x-x_0)
[/mm]
Der Graph von [mm] t_0 [/mm] soll durch S=(-1/7) gehen, also [mm] t_0(-1)=7
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{25-x_0^2}+\bruch{-x_0}{\wurzel{25-x_0^2}}(\red{-1}-x_0)=7
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{25-x_0^2+x_0+x_0^2}{\wurzel{25-x_0^2}}=7
[/mm]
[mm] \gdw 25+x_0=7\cdot{}\wurzel{25-x_0^2}
[/mm]
[mm] \gdw 625+50x_0+x_0^2=1225-49x_0^2
[/mm]
[mm] \gdw 50(x_0^2+x_0-12)=0
[/mm]
Das kannst du mit der p/q-Formel lösen und erhältst 2 Lösungen [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_1
[/mm]
Die setzt du dann in die obige Tangentengleichung [mm] t_0(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=\wurzel{25-x_0^2}+\bruch{-x_0}{\wurzel{25-x_0^2}}(x-x_0) [/mm] ein und erhältst deine beiden Tangenten [mm] t_0(x) [/mm] und [mm] t_1(x)
[/mm]
Hoffe, das stimmt nun
Gruß
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Mo 19.03.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Danke vielmals!
Ich weiss bloss nicht, wie man darauf kommt:
[mm] \gdw 25+x_0=7\cdot{}\wurzel{25-x_0^2} [/mm]
Danach der Schritt, woher bekomme ich die [mm] 50_{x_{0}} [/mm] und die -49x², wie kommt man drauf??
danke im voraus!
mfg m.styler
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> Hallo!
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> Danke vielmals!
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> Ich weiss bloss nicht, wie man darauf kommt:
>
> [mm]\gdw 25+x_0=7\cdot{}\wurzel{25-x_0^2}[/mm]
>
> Danach der Schritt, woher bekomme ich die [mm]50_{x_{0}}[/mm] und
> die -49x², wie kommt man drauf??
>
Hier: [mm] \gdw 25+x_0=7\cdot{}\wurzel{25-x_0^2} [/mm] beide Seite quadrieren
dann haste links ne binomische Formel und rechts [mm] 49(25-x_0^2)
[/mm]
ok?
Gruß
schachuzipus
>
>
> danke im voraus!
> mfg m.styler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:53 Di 20.03.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Ja, wie sieht die linke binmische Form aus??
danke im voraus!
mfg m.styler
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[mm] (25+x_0)^2
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Do 22.03.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
(25+x)²
aber wie kommen davon die 50 zusammen?
2*25??
mfg m.styler
danke im voraus!
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> Hallo!
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> (25+x)²
>
> aber wie kommen davon die 50 zusammen?
>
> 2*25??
>
>
> mfg m.styler
> danke im voraus!
Hallo m.styler
jo, [mm] (25+x_0)^2=25^2+2\cdot{}25\cdot{}x_0+x_0^2=625+50x_0+x_0^2 [/mm] [1.binomische Formel]
Nun den Kram von der anderen Seite rüberholen, zusammenfassen und 50 ausklammern
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Do 22.03.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Grossartig! dank an alle!
mfg m.styler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 So 25.03.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo! nochmal!
Irgentwie funktioniert das nicht mehr, wenn ich den Punkt 4 aus der PQ Formel in die Gleichung eisetze, komme ich nicht weiter.
Hier:
[mm] \wurzel{25-4²}+\bruch{-4}{\wurzel{25-4²}}(4-x)=7 [/mm] <--kommt da vielleicht im Zähler (-4x) anstatt -4, um ein x Quadrat zu erhalten??
Sonst kommt was komisches raus!
mfg m.styler
danke im voraus!
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> Hallo! nochmal!
>
> Irgentwie funktioniert das nicht mehr, wenn ich den Punkt 4
> aus der PQ Formel in die Gleichung eisetze, komme ich nicht
> weiter.
>
> Hier:
>
> [mm]\wurzel{25-4²}+\bruch{-4}{\wurzel{25-4²}}(4-x)=7[/mm] wieso setzt du das =7?
<--kommt
> da vielleicht im Zähler (-4x) anstatt -4, um ein x Quadrat
> zu erhalten??
>
> Sonst kommt was komisches raus!
>
>
>
> mfg m.styler
> danke im voraus!
Hallo m.styler,
also für die Gleichung
[mm] 50(x_0^2+x_0-12)=0 [/mm]
habe ich mit der p/q-Formel die Werte [mm] x_0=-4 [/mm] und [mm] x_1=3 [/mm] herausbekommen.
Wenn ich die nun in die obige Tangentengleichung einsetze, erhalte ich:
[mm] t_0(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=\wurzel{25-x_0^2}+\bruch{-x_0}{\wurzel{25-x_0^2}}(x-x_0)=\wurzel{25-(-4)^2}+\bruch{-(-4)}{\wurzel{25-(-4)^2}}(x-(-4))=\wurzel{25-16}+\bruch{4}{\wurzel{25-16}}(x+4)=3+\bruch{4}{3}(x+4)=\red{\bruch{4}{3}x+\bruch{25}{3}}
[/mm]
Das ist die eine Tangente(ngleichung)
Die andere ergibt sich durch Einsetzen von [mm] x_1=3:
[/mm]
[mm] t_1(x)=\wurzel{25-x_1^2}+\bruch{-x_1}{\wurzel{25-x_1^2}}(x-x_1)=\wurzel{25-3^2}+\bruch{-3}{\wurzel{25-3^2}}(x-3)=\wurzel{25-9}+\bruch{-3}{\wurzel{25-9}}(x-3)=4+\bruch{-3}{4}(x-3)=\green{-\bruch{3}{4}x+\bruch{25}{4}}
[/mm]
Das ist also die zweite Tengente(ngleichung)
Zur Kontrolle können wir ja mal prüfen, ob der Punkt S=(-1/7) auch wirklich auf beiden Tangenten liegt:
[mm] t_0(-1)=\bruch{4}{3}(-1)+\bruch{25}{3}=\bruch{21}{3}=7 [/mm] passt also
[mm] t_1(-1)=-\bruch{3}{4}(-1)+\bruch{25}{4}=\bruch{28}{4}=7 [/mm] passt auch
Mache dir für das Verständnis unbedingt noch einmal genau klar, dass - und warum [mm] t(x)=\wurzel{25-x_0^2}+\bruch{-x_0}{\wurzel{25-x_0^2}}(x-x_0) [/mm] die Gleichung der Tangente an einem beliebigen Punkt [mm] P=(x_0/f(x_0)) [/mm] von f ist
(allg. Tangentengl. an einem Punkt [mm] P=(x_0/f(x_0)) [/mm] von f ist: [mm] t(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0))
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 So 25.03.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Oh, dankeschön!
Ich habe nur noch ein Rechenschrittproblem.
Von:
[mm] \wurzel{25-16}+\bruch{4}{\wurzel{25-16}}(x+4)
[/mm]
Auf:
[mm] 3+\bruch{4}{3}(x+4)
[/mm]
Und
Auf:
[mm] \bruch{4}{3}x+\bruch{25}{3}
[/mm]
mfg m.styler
danke im voraus!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 So 25.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo m.styler!
Hier wurde lediglich die Wurzel ausgerechnet bzw. gemäß den Regeln der Bruchrechnung zusammengefasst:
[mm] $\wurzel{25-16} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{9} [/mm] \ = \ 3$
[mm] $3+\bruch{4}{3}*(x+4) [/mm] \ = \ [mm] 3+\bruch{4}{3}*x+\bruch{16}{3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{3}*x+\bruch{9+16}{3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{3}*x+\bruch{25}{3}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 So 25.03.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Ah, jetzt klar!
danke!
mfg m.styler
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Mo 19.03.2007 | | Autor: | riwe |
zunächst sollte man überprüfen, ob der punkt S(-1/7) auf dem kreis [mm]K: x²+y²=25[/mm] liegt. das ist NICHT der fall.
eine möglichkeit: stelle die polare auf durch aufspalten der kreisgleichung und schneide sie mit K, das liefert die berührungspunkte, und nun hast du je 2 punkte für deine geraden.
polare: [mm]-x+7y=25[/mm]
[mm] B_1(3/4) [/mm] und [mm] B_2(-4/3)
[/mm]
tangenten:
[mm]t_1: 3x +4y=25[/mm]
[mm]t_2: 4x -3y=-25[/mm]
eine andere möglichkeit: thaleskreis gurch M und S,
eine weitere: allgemeine gerade durch S und berührbedingung.
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