Tangente am Kreis < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Mi 09.02.2011 | | Autor: | rata123 |
| Aufgabe | In einem Koordinatensystem sind die Punkte A(0/0), B(8/4), C(6/8) und D(-2/4) gegeben.
DIe Punkte A, B, C und D liegen auf einem Kreis k mit dem MIttelpunkt M.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M und eine Gleichung dieses Kreises.
Im Punkt C ist an den Kreis k die Tangente t zu legen.
Geben Sie eine Gleichung dieser Tangente an. |
Hallo, ich habe zunächst für den Mittelpunkt M (3/4) ermittelt.
Danach habe ich die Gleichung des Kreises aufgestellt:
(x-c)² + (y-d)² = r²
(x-3)² + (y-4)² = r²
x² - 6x + 9 + y² - 8y + 9 + 16 = r²
So und hier komm ich nicht so richtig weiter. wenn ich das zusammenfasse kommt folgendes raus:
x² - 6x + 9 + y² - 8y + 25 = r²
Mein Problem: Wie komme ich denn jetzt auf den Radius bzw. was mache ich mit der 25 ? Ich hab mir überlegt
einfach die 25 auf die andere Seite zu bringen und das wär dann der Radius aber [mm] \wurzel{-25} [/mm] funktioniert ja nicht .. ?
Bei der Tangentengleichung hab ich folgendes gerechnet:
M(3/4) und Punkt C(6/8)
(x-c) * (x1-c) + (y-d) * (y1-d) = r²
Als Radius hab ich jetzt einfach mal 5 angenommen.
(x-3) * (6-3) + (y-4) * (8-4) = 25
6x - 3x - 18 +9 + 8y - 4y - 32 + 16 = 25
3x + 4y - 25 = 25
3x + 4y = 0
y = [mm] -\bruch{3}{4} [/mm] x
Ist das alles so weit vom Prinzip her richtig ?? Vielleicht kann mir ja auch jemand weiterhelfen was ich mit der 25 mache bzw.
wie ich nun auf den Radius komme.
Ich wäre sehr dankbar :D
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Hallo, der Mittelpunkt ist [mm] M(x_m;y_m)
[/mm]
aus (0;0) folgt Gleichung (1): [mm] (-x_m)^{2}+(-y_m)^{2}=r^{2}
[/mm]
aus (8;4) folgt Gleichung (2): [mm] (8-x_m)^{2}+(4-y_m)^{2}=r^{2}
[/mm]
aus (6;8) folgt Gleichung (3): [mm] (6-x_m)^{2}+(8-y_m)^{2}=r^{2}
[/mm]
aus (-2;4) folgt Gleichung (4): [mm] (-2-x_m)^{2}+(4-y_m)^{2}=r^{2}
[/mm]
aus (2) und (4) folgt
[mm] r^{2}- (8-x_m)^{2}=r^{2}-(-2-x_m)^{2}
[/mm]
- [mm] (8-x_m)^{2}=-(-2-x_m)^{2}
[/mm]
[mm] x_m=....
[/mm]
aus (1) und (3) folgt
[mm] (-x_m)^{2}+(-y_m)^{2}=(6-x_m)^{2}+(8-y_m)^{2}
[/mm]
setze [mm] x_m [/mm] ein, berechne [mm] y_m, [/mm] r sollte dann kein Problem mehr sein, du hast die Kreisgleichung, dann sehen wir weiter
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mi 09.02.2011 | | Autor: | rata123 |
Ich finde das ziemlich kompliziert und ich glaube ich komme damit auf den gleichen Mittelpunkt von M(3/4) hab bis jetz mit deiner Formel [mm] x_m [/mm] ausgerechnet... [mm] x_m [/mm] = 3..
für [mm] y_m [/mm] komm ich irgendwie nicht weiter.
Ich hätte vielleicht noch erwähnen sollen dass die 4 Punkte ein Rechteck bilden und auf dem Kreis k liegen.
Kann ich da nicht den einfacheren Weg gehen um den Mittelpunkt zu errechnen und folgendes rechnen:
M ( [mm] (\bruch{A_x+C_x}{2}) [/mm] / [mm] (\bruch{A_y+C_y}{2}) [/mm] )
M ( [mm] (\bruch{0+6}{2}) [/mm] / [mm] (\bruch{0+8}{2}) [/mm] )
M (3/4)
????
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Hallo, [mm] x_m=3 [/mm] ist ok, dann hatten wir
aus (1) und (3) folgt
[mm] (-x_m)^{2}+(-y_m)^{2}=(6-x_m)^{2}+(8-y_m)^{2}
[/mm]
[mm] 9+(-y_m)^{2}=(3)^{2}+(8-y_m)^{2}
[/mm]
[mm] 9+y_m^{2}=9+64-16y_m+y_m^{2}
[/mm]
[mm] 0=64-16y_m
[/mm]
[mm] y_m=4
[/mm]
wir haben also M(3;4)
einsetzen in (1) macht [mm] r^{2}=25
[/mm]
ich hatte vorhin den Eindruck, du hast etwas geraten, jetzt haben wir den exakten Lösungsweg
[mm] (x-3)^{2}+(y-4)^{2}=25
[/mm]
Über das Rechteck zu gehen ist auch möglich, du wirst aber sicherlich noch Kreisgleichungen zu rechnen haben, wenn die Punkte kein Rechteck bilden, dann gehe den allgemeinen Weg
fehlt noch die Tangente:
bedenke, die Tangente steht senkrecht auf dem Berührungsradius [mm] \overline{MC}, [/mm] bestimme die Gleichung der Gerade durch M und C, dazu dann die senkrechte Gerade durch C bestimmen
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:44 Do 10.02.2011 | | Autor: | rata123 |
Ich habe jetzt zunächst die Gleichung für die Gerade MC: y = [mm] \bruch{4}{3}x [/mm] errechnet.
Für die Tangente ergibt sich: y = [mm] -\bruch{3}{4}x [/mm] + n
Punkt einsetzen ... Tangente: y = [mm] -\bruch{3}{4}x [/mm] + 12,5
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 Do 10.02.2011 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, und Glückwunsch, deine Tangente stimmt, Steffi
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