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Tangente an Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:45 Sa 29.08.2015
Autor: Peter_123

Aufgabe
Eine Ortschaft P(2/-2) liegt auf einer geraden Straße zwischen den Dörfern W(0/0) und S(4/-4). Es soll eine Umfahrung gebaut werden, die über den Punkt D(2/-3) führt und bei W und S wieder in die gerade Straße einmündet. Die Umfahrungsstraße kann durch f(x) = [mm] -0.0625x^4 +0.5x^3 -x^2-x [/mm] beschrieben werden.

Zeige durch Berechnung, dass die Gerade durch die Punkte W und S in diesen Punkten eine Tangente an f ist und Gib eine Umfahrungsvariante durch eine quadratische Funktion an, die die Punkte W,D und S enthält.

Hallo,

Irgendwie kommt mir die Bezeichnung Tangente in den Punkten ein wenig seltsam vor - sollte eine Tangente nicht nur einen Schnittpunkt mit der Kurve haben? die gerade durch S und W hat aber zwei Schnittpunkte mit f - laut Angabe bereits, da f ja W und S durchläuft.

dennoch - die Gerade durch S(4/-4) und W(0/0) ist rasch gefunden .. es ist einfach g(x)=-x , was man aus g(0)=0 und g(4)=-4 sofort erkennt.

nun ist auch klar, dass f [mm] \cap [/mm] g = {0,-4} liefert.

g hat in (0/0) und (4/-4) auch den gleichen Anstieg wie f - nämlich -1.

was aus

f'(0) = -1 und f'(4) = -1 ersichtlich ist. - also hat g natürlich in den Punkten eine Art Tangenten - Eigenschaft , aber kann man es tatsächlich Tangente an f in den Punkten nennen?

- Zur quadratischen Umfahrung.

Ausgehend von u(x) = [mm] ax^2+bx+c [/mm]

Setzen wir einfach die Punkte ein , durch die die Funktion laufen soll.

also: u(0) = 0 , u(2) = -3 und u(4) = -4

aus u(0) = 0 folgt sofort c = 0.

aus u(2) = -3 und u(4) = -4 ergibt sich nach lösen des GLS

$u(x) = [mm] \frac{1}{4}x^2 [/mm] -2x$

Passt das so?

Vielen Dank um Voraus und lg

Peter



        
Bezug
Tangente an Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:26 Sa 29.08.2015
Autor: HJKweseleit

Ja, alles richtig.

Die Tangente an einen Kreis berührt diesen nur in einem Punkt.
Die Tangente an einen beliebigen Graphen in einem Punkt stimmt in diesem Punkt mit der Richtung des Graphen überein und "berührt" ihn dort. Sie darf den Graphen aber auch woanders noch in beliebig vielen Punkten berühren oder schneiden.

Beispiel Sinus-Funktion:

Legst du bei 90 ° Eine Tangente auf den Hochpunkt des Graphen, geht diese durch sämtliche Hochpunkte, berührt also unendlich-oft den Graphen.
Legst du bei 0° eine Tangente daran, berührt sie nur einmal, wird aber dabei von dem Graphen "geschnitten" in dem Sinne, dass dieser mal auf der einen und mal auf der anderen Seite der Tangente verläuft. (Berührt heißt hier also sogar geschnitten!)
Legst du die Tangente bei 91 ° an, schneidet sie noch ganz oft, aber nicht mehr unendlich-oft, den Graphen.
Bei 45 ° wiederum nur noch einmal im negativen Bereich usw.

Die Funktion f(x)=ax+b ist ihre eigene Tangente und berührt sich in allen ihren Punkten selber.

Stell dir vor, der Graph wäre eine Straße, auf der ein Auto fährt, das eine lange Leiter auf dem Dach hat, die genau von vorn nach hinten zeigt. Aus einem Flugzeug sieht man nur die Straße und die Leiter, nicht das Auto, das nun die Straße entlang fährt. Dann ist die Leiter immer ein Stück der gesuchten Tangente, egal, ob die Verlängerung die Straße nochmal schneidet oder berührt.


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