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Forum "Vektoren" - Tangente an Kreis
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Tangente an Kreis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:17 Mo 19.01.2009
Autor: Dinker

Gegeben sind der Kreis k: [mm] (x-2)^{2} [/mm] + [mm] (y-1)^{2} [/mm] = 25 sowie der Punkt P(-3/11).
Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangente von P an k

Hilfe ich schwimme

Hab zuerst einmal einen Punkt K auf dem Kreis ausgedacht

0 = [mm] y^{2} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] -4x -2y -21

Mit der Formel ergibt das:

[mm] y_{1,2} [/mm] = [mm] \pm \wurzel{-x^{2}+4x+22} [/mm]

Das heisst mein Punkt K ist [mm] (x/\wurzel{-x^{2}+4x+22}) [/mm]
oder [mm] (x/\wurzel{+x^{2}-4x-22}) [/mm]

Wohl stimmt das schon was nicht...

Nun gilt [mm] \overrightarrow{KP} [/mm] * [mm] \overrightarrow{KM} [/mm] = 0

[mm] \vektor{-3-x \\ 11 + x^{2} -4x-22 } [/mm] * [mm] \vektor{2-x \\ 1 +x^{2}-4x-22 } [/mm] = 0

[mm] \vektor{-3-x \\ x^{2} -4x-11 } [/mm] * [mm] \vektor{2-x \\ x^{2}-4x-21 } [/mm] = 0

0 = [mm] x^{4} [/mm] - [mm] 8x^{3} -15x^{2} [/mm] + 129x + 225
...............................

Geht nicht

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.









        
Bezug
Tangente an Kreis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:21 Mo 19.01.2009
Autor: moody

Hallo Dinker,

[verschoben]

das gehörte nicht in die Primarstufe  [lichtaufgegangen]

lg moody

Bezug
        
Bezug
Tangente an Kreis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:30 Mo 19.01.2009
Autor: Sigrid

Hallo Dinker,

> Gegeben sind der Kreis k: [mm](x-y)^{2}[/mm] + [mm](y-1)^{2}[/mm] = 25

Kannst Du noch mal die Gleichung überprüfen. Das ist keine Kreisgleichung.

Gruß
Sigrid

Bezug
                
Bezug
Tangente an Kreis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:36 Mo 19.01.2009
Autor: Dinker

Besten Dank

Hab nun die Gleichung korrigiert

Gruss Dinker

Bezug
        
Bezug
Tangente an Kreis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 Mo 19.01.2009
Autor: reverend

Hallo Dinker,

wie möchtest Du die Aufgabe nun rechnen?
Mit Vektorrechnung geht das wie folgt (Skizze):

Du hast einen Kreis, der wie folgt definiert ist:
K: [mm] \vektor{2\\1}+\vec{c} [/mm] mit [mm] |\vec{c}|=5 [/mm]

Nun suchen wir einen bestimmten Vektor [mm] \vec{c_t}, [/mm] der auch die Bedingung [mm] |\vec{c_t}|=5 [/mm] erfüllt, sowie einen Vektor [mm] \vec{x} [/mm] mit folgenden Bedingungen:

I) [mm] \vektor{2\\1}+\vec{c_t}+\vec{x}=\vektor{-3\\11} [/mm]

II) [mm] \vec{c_t}*\vec{x}=0 [/mm]

Tipp: multipliziere die ganze Gleichung I) einmal mit [mm] \vec{c_t}. [/mm]

Viel Erfolg,
reverend

Bezug
                
Bezug
Tangente an Kreis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:13 Mo 19.01.2009
Autor: Dinker

Besten Dank
Hast sicher etwas Mitleid erhalten, da niemand antwortete.

Werde mich später nochmals daran versuchen, anhand deines Vorgehens.

gruss Dinker



Bezug
        
Bezug
Tangente an Kreis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 Mo 19.01.2009
Autor: Sigrid

Hallo Dinker,

Du kommst auch mit Deinem Ansatz weiter. Allerdings sind Dir einige Fehler unterlaufen.

> Gegeben sind der Kreis k: [mm](x-2)^{2}[/mm] + [mm](y-1)^{2}[/mm] = 25 sowie
> der Punkt P(-3/11).
>  Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangente von P an k
>  
> Hilfe ich schwimme
>  
> Hab zuerst einmal einen Punkt K auf dem Kreis ausgedacht
>  
> 0 = [mm]y^{2}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] -4x -2y -21

Die Gleichung ist

$ [mm] y^2 [/mm] - 2y + [mm] x^2 [/mm] - 4x -20 =0 $

>  
> Mit der Formel ergibt das:
>  
> [mm]y_{1,2}[/mm] = [mm]\pm \wurzel{-x^{2}+4x+22}[/mm]

Die p-q-Formel liefert ein anderes Ergebnis.

>  
> Das heisst mein Punkt K ist [mm](x/\wurzel{-x^{2}+4x+22})[/mm]
>  oder [mm](x/\wurzel{+x^{2}-4x-22})[/mm]
>  
> Wohl stimmt das schon was nicht...
>  
> Nun gilt [mm]\overrightarrow{KP}[/mm] * [mm]\overrightarrow{KM}[/mm] = 0
>  
> [mm]\vektor{-3-x \\ 11 + x^{2} -4x-22 }[/mm] * [mm]\vektor{2-x \\ 1 +x^{2}-4x-22 }[/mm]
> = 0
>  
> [mm]\vektor{-3-x \\ x^{2} -4x-11 }[/mm] * [mm]\vektor{2-x \\ x^{2}-4x-21 }[/mm]
> = 0

Wo sind die Wurzel geblieben?

>  
> 0 = [mm]x^{4}[/mm] - [mm]8x^{3} -15x^{2}[/mm] + 129x + 225
>  ...............................
>  
> Geht nicht

Rechnerisch wird es einfacher, wenn Du die Kreisgleichung nicht nach y löst:

$ [mm] x^2 [/mm] - 4x [mm] +y^2 [/mm] - 2y = 20 $  und

$ [mm] \vektor{x-2 \\ y-1} [/mm] * [mm] \vektor{x+3 \\ y-11} [/mm] = 0 $

Die zweite Gleichung führt wieder zu einer quadratischen Gleichung in x und y. Wenn Du nun die beiden Gleichungen subtrahierst, fallen die Quadrate weg. Du kannst dann nach x oder y losen und in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen.

Ich denke, dann kommst Du alleine weiter.

Gruß
Sigrid

Dann hast Du die beiden

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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>
>
>
>
>  


Bezug
                
Bezug
Tangente an Kreis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:34 Mi 21.01.2009
Autor: Dinker

Besten Dank Sigrid


Q ist der Tangententenpunkt

0 = [mm] \overrightarrow{QP} [/mm] * [mm] \overrightarrow{QM} [/mm]

0 = [mm] \vektor{x + 3 \\ y - 11} [/mm] * [mm] \vektor{x - 2 \\ y - 1} [/mm]

0 = (x + 3) *(x-2) + (y-11) * (y-1)


[mm] x^{2} +y^{2} [/mm] + x -12y + 5 = 0
[mm] x^{2} +y^{2} [/mm] -4x -2y -20 = 0

[mm] x^{2} +y^{2} [/mm] + x -12y + 5 = [mm] x^{2} +y^{2} [/mm] -4x -2y -20

5x -10y + 25 =0

Wo liegt das Problem, dass ich eine der beiden Unbekannten nicht wegkriege?

Besten Dank
Gruss Dinker



Bezug
                        
Bezug
Tangente an Kreis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:39 Mi 21.01.2009
Autor: Dinker

Also habs mir nochmals überlegt.

Muss ich noch davon gebrauch machen, dass der Radius 5 beträgt?

Gruss Dinker

Bezug
                                
Bezug
Tangente an Kreis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:00 Mi 21.01.2009
Autor: weduwe


> Also habs mir nochmals überlegt.
>  
> Muss ich noch davon gebrauch machen, dass der Radius 5
> beträgt?
>  
> Gruss Dinker

na klar mußt du davon gebrauch machen,
du weißt ja, dass der tangentenpunkt Q(x/y) auf dem kreis liegt.
die eine beziehung aus dem skalarprodukt (oder über die polare, oder den thaleskreis) heißt
x = 2y-5

das setzt du nun  in
(x- [mm] 2)^2+(y-1)^2=25 [/mm] ein
[mm] (2y-7)^2+(y-1)^2=25 [/mm]
was z.b. [mm] Q_1(5/5) [/mm] ergibt


Bezug
                        
Bezug
Tangente an Kreis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:41 Mi 21.01.2009
Autor: reverend

Tja, diese Frage stelle ich mir vorgestern auch...
Der Weg scheint ja doch nicht so einfach zu sein.
Ich kann die Aufgabe damit jedenfalls nicht lösen.

Grüße,
reverend

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Bezug
Tangente an Kreis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:27 Mi 21.01.2009
Autor: Al-Chwarizmi

Für diese Aufgabe gibt es die verschiedensten
Zugangsmöglichkeiten (Diskriminantenmethode,
Trigonometrie, Vektoren und Skalarprodukt etc.)

Ein geometrischer Zugang wäre z.B. folgender:
Betrachte das Dreieck PMB, wobei B einer der
Tangentenberührungspunkte ist. Berechne mit
Pythagoras die Länge t der Strecke [mm] \overline{PB}. [/mm]
Dann sind die gesuchten Berührpunkte [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm]
die Schnittpunkte des Kreises k mit dem Kreis
mit Radius t um P.

LG

Bezug
                        
Bezug
Tangente an Kreis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:43 Mi 21.01.2009
Autor: Sigrid

Hallo Dinker,

> Besten Dank Sigrid
>  
>
> Q ist der Tangententenpunkt
>  
> 0 = [mm]\overrightarrow{QP}[/mm] * [mm]\overrightarrow{QM}[/mm]
>  
> 0 = [mm]\vektor{x + 3 \\ y - 11}[/mm] * [mm]\vektor{x - 2 \\ y - 1}[/mm]
>  
> 0 = (x + 3) *(x-2) + (y-11) * (y-1)
>  
>
> [mm]x^{2} +y^{2}[/mm] + x -12y + 5 = 0
>  [mm]x^{2} +y^{2}[/mm] -4x -2y -20 = 0
>  
> [mm]x^{2} +y^{2}[/mm] + x -12y + 5 = [mm]x^{2} +y^{2}[/mm] -4x -2y -20
>  
> 5x -10y + 25 =0
>  
> Wo liegt das Problem, dass ich eine der beiden Unbekannten
> nicht wegkriege?

Das ist ganz normal. Du musst nur weiterrechnen:

$ 5x -10y + 25 =0 [mm] \gdw [/mm] x = 2y -5 $

Jetzt setzt Du den Term für x in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein. Ich nehme die erste:

$ [mm] (2y-5)^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + 2y-5 -12y + 5 = 0 $

Jetzt hast Du nur noch eine Variable.

Gruß
Sigrid

PS Die Berührpunkte sind [mm] b_1(5;5) [/mm] und [mm] B_2(-3;1) [/mm]


>  
> Besten Dank
>  Gruss Dinker
>  
>  


Bezug
                                
Bezug
Tangente an Kreis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:53 Mi 21.01.2009
Autor: reverend

Jeechen. Da hab ich was viel Komplizierteres "hineingesehen" und einfach nicht weitergerechnet. [bonk]

Sorry,
reverend

Bezug
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