Tangente an Kreis bestimmen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Casandra |
| Aufgabe | | Legen Sie im R² vom Punkt Q =(17,-7) die Tangente an den Kreis K13 ((0,0)). |
Hallo!
Also hier sollen wir eine Tangente finde die durch den Punkt Q geht und den Kreis in B berührt. Es gibt ja zwei Berührpunkte, diese kann man durch einer Gerade, die man Polare nennt verbinden.
Jetzt weiß ich aber nicht wie ich auf die Berührpunkte komme.
Wir haben eine Gleichung für die Polare:
[mm] (\overrightarrow{x} [/mm] - [mm] \overrightarrow{m}) [/mm] * [mm] (\overrightarrow{q} [/mm] - [mm] \overrightarrow{m})= [/mm] r²
Dabei kann ich ja m und q einsetzen und erhalte [mm] 17x_{1} [/mm] - [mm] 7x_{2}= [/mm] 169.
und für den Kreis erhalte ich [mm] x_{1}² [/mm] + [mm] x_{2}²= [/mm] 169
Aber was muss ich jetzt machen?
Eigentlich müsste ich ja jetzt die Polare mit dem Kreisschneiden um die Berührpunkte rauszubekommen.
Aber wenn ich das mache bekomme ich irgendwie komische Ergebnisse raus, die nicht passen können.
Ich kann ja die Polargleichung nach [mm] x_{1} [/mm] auflösen und erhalte [mm] x_{1} [/mm] = 169/17 + 7/17 [mm] x_{2} [/mm] , dass kann ich ja dann in die Kreisgleichung einsetzen und dann zusammenfassen und dann über die p/q Formel ausrechnen.
Oder liegt hier mein Fehler?
Wenn ich die Werte erhalte und dann in die Kreisgleichung einsetze erhalte ich für x _{2} _{1}= 2,9 und damit [mm] x_{1} [/mm] _{1} = 12,67
und für [mm] x_{2} [/mm] _{2}= - 20,61 und für [mm] x_{1} [/mm] _{2} erhalte ich einen Widerspruch.
Bin irgendwie überfragt.
Wäre nett wenn mir einer nen Tipp gegeben könnte.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:52 Mi 02.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde etwas anders vorgehen.
nimm dir erstmal eine gerade im [mm] \IR^{2} [/mm] vor.
Also hast du eine Gerade der Form g(x)=mx+n
Diese soll durch Q verlaufen, also g(17)=-7
[mm] \gdw [/mm] 17m+n=7 [mm] \Rightarrow [/mm] n=-7-17m
Also g(x)=mx-(7+17m)
Und die Steigung m musst du jetzt noch bestimmen.
Dazu setze diese Gerade mal mit den Kreis gleich (oder besser in die Kreisgleichung ein)
Also bestimme mal die Kreisgleichung:
K: [mm] (x-x_{m})²+(y-y_{m})²=r²
[/mm]
Also hier : M(0/0) und r=13
K: x²+y²=169
Jetzt die Gerade einsetzen:
[mm] x²+(mx-(7+17m))^{2}=169
[/mm]
[mm] \gdw x²+m²x^{2}-2mx(7-17m)+(7-17m)²=169
[/mm]
[mm] \gdw (1+m²)x^{2}-2m(7-17m)x+(7-17m)²=169
[/mm]
[mm] \gdw x²-\bruch{2m(7-17m)}{1-m²}+\bruch{(7-17m)²-169}{1+m²}=0
[/mm]
Und jetzt bestimme mal die Schnittpunkte [mm] x_{1;2}
[/mm]
[mm] x_{1;2}=\bruch{\bruch{2m(7-17m)}{1-m²}}{2}\pm\wurzel{\bruch{\left(\bruch{2m(7-17m)}{1-m²}\right)^{2}}{4}-\bruch{(7-17m)²-169}{1+m²}}
[/mm]
Da die Gerade aber den Kreis nur berühren soll, (Tangente), darf es nur einen Schnittpunkt geben, also [mm] x_{1}=x_{2}, [/mm] und das funktioniert nur, wenn der Wurzelterm (Die Diskriminante) Null ergibt.
Also muss gelten:
[mm] \bruch{\left(\bruch{2m(7-17m)}{1-m²}\right)^{2}}{4}-\bruch{(7-17m)²-169}{1+m²}=0
[/mm]
Und daraus kannst du jetzt die beiden möglichen Steigungen m berechnen, so dass g(x) eine Tangente an K wird.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Sollte gehen, hast dich sicher nur irgendwo verrechnet.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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