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| Aufgabe | | 1) Sei Kr(M) eine Kugel im [mm] R^3 [/mm] und [mm] B\in [/mm] Kr(M). Dann ist jede Gerade durch B, die auf gMB senkrecht steht, eine Tangente an Kr(M). |
Hallo,
also, ich nenne die Gerade durch B und senkrecht auf gMB mal h. Dann soll h also genau einen Schnittpunkt mit Kr(M) haben. Weiterhin kann ich die Gerade gMB bestimmen:
gMB: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OB}+\lambda (\vec{m}-\vec{b})
[/mm]
Dann muss der Richtungsvektor [mm] \vec{v} [/mm] von h also auch bestimmbar sein:
[mm] (\vec{m}-\vec{b})*\vec{v}=0
[/mm]
So, jetzt komme ich nur irgendwie nicht weiter. Habe auch schon versucht, das als Skalarprodukt zu schreiben und so, aber klappt irgendwie nicht so richtig. Oder geht das so gar nicht, wie ich mir das denke. Muss man das indirekt beweisen?
Ich würde jetzt gerne Vektor v ausrechenen; was mir aber nicht so gelingt, und dann h mit Kr(M) schneiden und irgendwie nur einen Schnittpunkt rausbekommen. Weiß aber auch nicht so genau, was ich da eigentlich dann da am Ende stehen haben will; kann mir das nicht so richtig vorstellen.
Kann mir jemand helfen und vielleicht einen Tipp geben, was ich jetzt weiter machen kann?
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 Sa 21.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Anna,
> 1) Sei Kr(M) eine Kugel im [mm]R^3[/mm] und [mm]B\in[/mm] Kr(M). Dann ist
> jede Gerade durch B, die auf gMB senkrecht steht, eine
> Tangente an Kr(M).
> Hallo,
> also, ich nenne die Gerade durch B und senkrecht auf gMB
> mal h. Dann soll h also genau einen Schnittpunkt mit Kr(M)
> haben. Weiterhin kann ich die Gerade gMB bestimmen:
> gMB: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\overrightarrow{OB}+\lambda (\vec{m}-\vec{b})[/mm]
>
> Dann muss der Richtungsvektor [mm]\vec{v}[/mm] von h also auch
> bestimmbar sein:
leider nicht. Denn man kann die Tangente "drehen".
Mach dir das bitte anschaulich: Die Richtung einer Tangente an eine Kugel in einem gegebenen Berührpunkt ist nicht eindeutig bestimmt.
> [mm](\vec{m}-\vec{b})*\vec{v}=0[/mm]
>
> So, jetzt komme ich nur irgendwie nicht weiter. Habe auch
> schon versucht, das als Skalarprodukt zu schreiben und so,
> aber klappt irgendwie nicht so richtig. Oder geht das so
> gar nicht, wie ich mir das denke. Muss man das indirekt
> beweisen?
Der Beweis ist extrem einfach 
Da wir bereits wissen, daß jede Gerade durch B einen Punkt mit der Kugel gemeinsam hat (nämlich B), reicht es zu zeigen, daß eine solche zu MB orthogonale Gerade keinen weiteren Punkt mit der Kugel gemeinsam haben kann. Das aber folgt sofort aus dem Satz des Pythagoras: Betrachte einfach die Strecke vom Mittelpunkt der Kugel zu einem beliebigen Punkt P der Geraden außer B. Diese Strecke MP bildet die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten MB und BP und muß damit länger sein als MB, also länger als der Kugelradius. Damit liegt jeder Punkt der Geraden außer B außerhalb der Kugel.
LG
Will
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