Tangente an einen Kreis < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Di 28.11.2006 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | Bestimme die Gleichung für die Tangente an den Kreis durch den Punkt S.
a) x²+y²=25 ; S(-1/7)
Gib auch die zugehörigen Berührpunkte an. |
Ich habe eine Nachhilfe-Schülerin in der Stufe 11, allerdings wusste ich nicht, wie ich ihr bei dieser Aufgabe einen Ansatz liefern konnte.
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimme die Gleichung für die Tangente an den Kreis durch
> den Punkt S.
>
> a) x²+y²=25 ; S(-1/7)
>
> Gib auch die zugehörigen Berührpunkte an.
> Ich habe eine Nachhilfe-Schülerin in der Stufe 11,
> allerdings wusste ich nicht, wie ich ihr bei dieser Aufgabe
> einen Ansatz liefern konnte.
> Ich hoffe, ihr könnt mir helfen!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
[mm] \text{Hi.}
[/mm]
[mm] \text{Du suchst also zwei Geraden mit einer bestimmen Steigung, die den Kreis berühren und durch den Punkt den Punkt S ge-}
[/mm]
[mm] \text{hen. Die allgemeine Form einer Geraden lautet:}
[/mm]
$y=mx+n$
[mm] \text{Setze die Koordinaten des Punktes ein:}
[/mm]
$7=-m+n [mm] \gdw [/mm] n=7+m$
[mm] $\Rightarrow [/mm] y=mx+7+m$
[mm] \text{Das Vorliegende nennt sich Geradenbüschel. Du suchst jetzt zwei dieser unendlich vielen Geraden, die die oben genannte}
[/mm]
[mm] \text{Bedingung erfüllen. Also: Schnittpunkte in Abhängigkeit von m bestimmen.}
[/mm]
[mm] $x^2+y^2=25$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2+(mx+7+m)^2=25$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2+(mx+7+m)(mx+7+m)=25$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2+m^2x^2+7mx+m^2x+7mx+49+7m+m^2x+7m+m^2-25=0$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2+m^2x^2+14mx+2m^2x+m^2+14m+24=0$
[/mm]
[mm] $\gdw (1+m^2)x^2+(14m+2m^2)x+m^2+14m+24=0$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2+\bruch{14m+2m^2}{1+m^2}x+\bruch{m^2+14m+24}{1+m^2}=0$
[/mm]
[mm] $\gdw x_{1;2}=-\bruch{7m+m^2}{1+m^2}\pm\wurzel{\bruch{\left(7m+m^2\right)^2}{\left(1+m^2\right)^2}-\bruch{m^2+14m+24}{1+m^2}}$
[/mm]
[mm] \text{Der nächste Schritt: Wann gibt es nur einen Schnittpunkt (Tangente schneidet nur einmal, nicht zweimal!)? Wenn die Dis-}
[/mm]
[mm] \text{kriminante gleich 0 ist.}
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \bruch{\left(7m+m^2\right)^2}{\left(1+m^2\right)^2}-\bruch{m^2+14m+24}{1+m^2}=0$
[/mm]
[mm] $\gdw \left(7m+m^2\right)^2-\left(m^2+14m+24\right)\left(1+m^2\right)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw 49m^2+14m^3+m^4-\left(m^2+14m+24+m^4+14m^3+24m^2\right)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw 49m^2+14m^3+m^4-m^2-14m-24-m^4-14m^3-24m^2=0$
[/mm]
[mm] $\gdw 24m^2-14m-24=0$
[/mm]
[mm] \text{Jetzt wird m von der Form- zur Lösungsvariablen:}
[/mm]
[mm] $\gdw m^2-\bruch{7}{12}m-1=0$
[/mm]
[mm] $\gdw m_{1;2}=\bruch{7}{24}\pm\wurzel{\bruch{49}{576}+\bruch{576}{576}}$
[/mm]
[mm] $\gdw m_{1}=\bruch{7}{24}+\bruch{25}{24}=1\bruch{1}{3} \vee m_{2}=\bruch{7}{24}-\bruch{25}{24}=-\bruch{3}{4}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow t_{1}:t_{1}(x)=1\bruch{1}{3}x+n \Rightarrow t_{1}:t_{1}(x)=1\bruch{1}{3}x+8\bruch{1}{3}$
[/mm]
[mm] $\wedge t_{2}:t_{2}(x)=-\bruch{3}{4}x+n \Rightarrow t_{2}:t_{2}(x)=-\bruch{3}{4}x+6\bruch{1}{4}$
[/mm]
[mm] \text{Berührpunkte:}
[/mm]
[mm] $x_{1}=-\bruch{7m+m^2}{1+m^2}=-\bruch{\bruch{28}{3}+\left(\bruch{4}{3}\right)^2}{1+\left(\bruch{4}{3}\right)^2}$
[/mm]
[mm] $\wedge x_{2}=-\bruch{7m+m^2}{1+m^2}=-\bruch{-\bruch{21}{4}+\left(-\bruch{21}{4}\right)^2}{1+\left(-\bruch{21}{4}\right)^2}$
[/mm]
[mm] \text{Gruß, Stefan.}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Di 28.11.2006 | | Autor: | Petite |
Als erstes würde ich die gegebene Gleichung nach y umstellen:
[mm] x^2+y^2=25
[/mm]
[mm] y^2=25-x^2
[/mm]
[mm] y=\wurzel{25-x^2}
[/mm]
oder
[mm] f(x)=\wurzel{25-x^2}
[/mm]
um eine Tangentengleichung (y=mx+n) zuerhalten errechne ich den Anstieg m:
m=f'(x) mit x=-1 aus dem Punkt S(-1|7)
[mm] f'(x)=\bruch{-x}{\wurzel{25-x^2}}
[/mm]
[mm] f'(-1)=\pm\bruch{-1}{\wurzel{24}}
[/mm]
die beiden Anstiege zeigen an, dass es zwei Berührungspunkte mit dem Kreis existieren
nun wird nur noch in die Funktionsgleichung für die Tangenten der Punkt S und der Anstiege eingesetzt
S(-1|7), [mm] m_1=-\bruch{1}{\wurzel{24}}, m_2=\bruch{1}{\wurzel{24}}
[/mm]
[mm] y_1=m_1*x+n
[/mm]
[mm] 7=-\bruch{1}{\wurzel{24}}*(-1)+n
[/mm]
[mm] n=7-\bruch{1}{\wurzel{24}}
[/mm]
[mm] y_1=-\bruch{1}{\wurzel{24}}x+7-\bruch{1}{\wurzel{24}}
[/mm]
[mm] y_2=m_2*x+n
[/mm]
[mm] 7=\bruch{1}{\wurzel{24}}*(-1)+n
[/mm]
[mm] n=7+\bruch{1}{\wurzel{24}}
[/mm]
[mm] y_2=\bruch{1}{\wurzel{24}}x+7+\bruch{1}{\wurzel{24}}
[/mm]
Um die Berührungspunkte heraus zubekommen müssen Tangentengleichung und Kreisfunktion gleichgesetzt werden
[mm] \wurzel{25-x^2}=-\bruch{1}{\wurzel{24}}x+7-\bruch{1}{\wurzel{24}}
[/mm]
und
[mm] \wurzel{25-x^2}=\bruch{1}{\wurzel{24}}x+7+\bruch{1}{\wurzel{24}}
[/mm]
theoretisch müsste man so auf je zwei x-Werte kommen, dann muss kontrolliert welche x-Werte möglich sind, da eine Wurzel vorliegt. Die gültigen x-Wert werden dann in die Kreisgleichung eingesetzt und so der y-Wert ermittelt.
'tschuldigung, dass ich nicht noch die Punkte ermittelt habe.
Hoffe aber mal, dass das schon weiter hilft.
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[mm] \text{Glaubst du ernsthaft, dass, wenn Kreise im Koordinatensystem besprochen werden, schon die Ableitung und ihre}
[/mm]
[mm] \text{Kettenregel eingeführt wurden?}
[/mm]
[mm] \text{Diese Kreisaufgaben sollen immer ohne die hilfe der Ableitung gelöst werden!}
[/mm]
[mm] \text{Stefan.}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:16 Di 28.11.2006 | | Autor: | riwe |
diese überlegungen wären nur dann zielführend, wenn der punkt S(-1/7) auf dem kreis läge.
da er dies nicht tut, sind sie falsch, wie auch dein ergebnis zeigt.
werner
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Di 28.11.2006 | | Autor: | riwe |
ein wesentlich einfacherer weg führt auch zum ziel:
du spaltest die kreigleichung auf in die polarengleichung:
[mm] x^{2}+y^{2}=25\to x\cdot x+y_1\cdot [/mm] y= 25 [mm] \to [/mm] -x*7y=25.
die polare ist jene gerade, die für einen punkt außerhalb des kreises K, hier S(-1/7), die beiden berührungspunkte der tangenten von S an K liefert!
daher nun mit dem kreis schneiden, das ergibt mit x = 7y - 25:
[mm]50y^{2} - 300y + 625 -25=0 \to y^{2}-7y+12=0[/mm].
und damit [mm] y_1 [/mm] = 3 und [mm] y_2=4, [/mm] was die RICHTIGEN berührungspunkte liefert:
[mm] B_1(-4/3) [/mm] und [mm] B_2(3/4).
[/mm]
jetzt mußt du nur noch mit der 2-punktform die tangentengleichungen aufstellen.
mit der diskriminantenmethode habe ich:
[mm] x_{1,2}=\frac{m(7+m)}{1+m^{2}} [/mm] und
[mm] m^{2}-\frac{7}{12}m-1=0\to m_1=\frac{4}{3} [/mm] und [mm] m_2=-\frac{3}{4},
[/mm]
was auch [mm] x_1 [/mm] = -4 und [mm] x_2 [/mm] = 3 ergibt.
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> ein wesentlich einfacherer weg führt auch zum ziel:
> du spaltest die kreigleichung auf in die
> polarengleichung:
> [mm]x^{2}+y^{2}=25\to x\cdot x+y_1\cdot[/mm] y= 25 [mm]\to[/mm] -x*7y=25.
> die polare ist jene gerade, die für einen punkt außerhalb
> des kreises K, hier S(-1/7), die beiden berührungspunkte
> der tangenten von S an K liefert!
> daher nun mit dem kreis schneiden, das ergibt mit x = 7y
> - 25:
> [mm]50y^{2} - 300y + 625 -25=0 \to y^{2}-7y+12=0[/mm].
> und damit
> [mm]y_1[/mm] = 3 und [mm]y_2=4,[/mm] was die RICHTIGEN berührungspunkte
> liefert:
> [mm]B_1(-4/3)[/mm] und [mm]B_2(3/4).[/mm]
> jetzt mußt du nur noch mit der 2-punktform die
> tangentengleichungen aufstellen.
>
> mit der diskriminantenmethode habe ich:
>
> [mm]x_{1,2}=\frac{m(7+m)}{1+m^{2}}[/mm] und
> [mm]m^{2}-\frac{7}{12}m-1=0\to m_1=\frac{4}{3}[/mm] und
> [mm]m_2=-\frac{3}{4},[/mm]
> was auch [mm]x_1[/mm] = -4 und [mm]x_2[/mm] = 3 ergibt.
>
>
[mm] \text{Das mit dieser Polarengleichung lernt man in der 11 aber schlicht und einfach nicht.}
[/mm]
[mm] \text{Ich möchte aber noch anmerken, dass meine Lösungen auch korrekt sind. ;)}
[/mm]
[mm] \text{Gruß, Stefan.}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Mi 29.11.2006 | | Autor: | riwe |
hallo stefan,
das habe ich nicht bezweifelt, galt meinem "vorredner".
werner
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