Tangente an einer parabel < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Aufg.
Gib für die Tangente an die Parabel im Punkt P1 die Gleichung in Normalform an.
(insgesamt. 6 Aufgaben, stelle aber nur eine, damit ich, so hoffe ich, einen Lösungsweg habe)
Also:
a) y=x² ; P1 : (2 / nicht bekannt)
Wie soll ich jetzt rechnen.
soll ich das jetzt in eine Tangentengleichung einsetzten, dann käme ja:
m = [mm] \bruch{1}{4b} [/mm] und y= [mm] \bruch{1}{4b} [/mm] mal x + b
also: y= [mm] \bruch{1}{4b} [/mm] mal 2 + b
...
ist das so falsch? da ich das so denke, hoffe jemand kann mir einen Lösungsweg detailliert beschreiben, Vielen dank
Also danke
bis dann
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Hallo Nightwalker!
> a) y=x² ; P1 : (2 / nicht bekannt)
>
> Wie soll ich jetzt rechnen.
>
> soll ich das jetzt in eine Tangentengleichung einsetzten,
> dann käme ja:
>
> m = [mm]\bruch{1}{4b}[/mm] und y= [mm]\bruch{1}{4b}[/mm] mal x + b
>
> also: y= [mm]\bruch{1}{4b}[/mm] mal 2 + b
> ...
Leider erschließt sich mir hier Dein Rechenansatz überhaupt nicht ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ...
Verwenden wir doch einfach mal die Punkt-Steigungs-Form für Geraden:
[mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y-y_P}{x-x_P}$ $\gdw$ [/mm] $y \ = \ [mm] m_t*\left(x-x_P\right) [/mm] + [mm] y_P$
[/mm]
Dabei ist die Steigung der Tangente die Steigung der Kurve im Punkt [mm] $P_1$ [/mm] (von der Definition her eigentlich genau umgekehrt  ...).
Und die Steigung einer Kurve erhalten wir ja durch die 1. Ableitung:
[mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] f'(x_P) [/mm] \ = \ f'(2) \ = \ ...$
Und den y-Wert [mm] $y_P$ [/mm] erhalten wir ebenfalls durch die Funktionsvorschrift:
[mm] $y_P [/mm] \ = \ [mm] f(x_P) [/mm] \ = \ f(2) \ = \ ...$
Damit erhalten wir dann:
$y \ = \ [mm] m_t*\left(x-x_P\right) [/mm] + [mm] y_P [/mm] \ = \ [mm] f'(2)*\left(x-2\right) [/mm] + f(2)$
Nun noch die entsprechenden Werte einsetzen ... fertig!
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
danke zuerst mal für die Antwort, nur verstehe ich das nicht so ganz,
also zum Beispiel mit der Ableitung etc.
Eingesetzt aber...
y= 2 (x-2) + 2
x² = 2x- 4 +2
x² = 2x-2
ist das das ergebnis der Aufgabe?
Muss das wirklich zu kompliziert sein,
gibts keinen einfacheren Weg...?
ansonsten danke,
bis dann
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 Do 03.11.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Nightwalker,
was heißt einfacher? Vielleicht etwas kürzer, aber die Herleitung hat Roadrunner aufgeschrieben.
[mm] f_{(x)}=y=x²
[/mm]
[mm] P_{1}=(2|?)
[/mm]
das Fragezeichen ermittels du, indem du die 2 in die Ausgangsgleichung einsetzt.
[mm] \Rightarrow P_{1}=(2|4)
[/mm]
[mm] f^{|}_{(x)}=y'=2x
[/mm]
(Verschönerungen des f' folgen!)
Das ist die erste Ableitung, mit der du die Steigung im [mm] P_{1} [/mm] bestimmst
[mm] \Rightarrow f^{|}_{(2)}=y'=2*2=4
[/mm]
Die Geradengleichung lautet: [mm] g_{(x)}=y=mx*b
[/mm]
Jetzt alles eingesetzt, was wir wissen
y=4
m=4
x=2
4=4*2+b [mm] \Rightarrow [/mm] b=-4
Die Gleichung der Tangente lautet also: [mm] g_{(x)}=y=4x-4
[/mm]
Zur Kontrolle was Roadrunner verbrochen hat:
[mm] y=f'_{(2)}*(x-2)+f_{(2)}=4*(x-2)+4=4x-8+4=4x-4=g_{(x)} [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße
Herby
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Hallo,
so habs, hoffe ich, verstanden
habe dies jetzt mal auf die nächste Aufgabe angewendet:
Also:
Tangente an eine parabel mit der Gleichung x= y²
y= 1/8 x² P1 ( -4 / ? )
f' von x = y' = -4x
=> f' von x = y' = -4 x (-4) = 16
y= 16
m=16
x=-4
g von x = y = mx x b
g von x = 16 = 16 x (-4) x b
b= -48
Engültige Gleichung in Normalform ? = g von x = y = 16x - 48
ist die Normalform eigentlich nicht = a mal x² + b mal x + c
???
2 Aufg.
Wenn jetzt bei P1 beide Punkte gegeben sind, also P1 ( 1 / 2)
rechnet man das dann auch so aus?
danke im vorraus
ciao
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Do 03.11.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Nightwalker,
da hast du aber einige Verdreher drin (naja, davor is niemand sicher ![[turn]](/images/smileys/turn.gif "[turn]") )
> Hallo,
>
> so habs, hoffe ich, verstanden
das Prinzip ja, aber die Leichtigkeitsfehler müssen noch weg.
> Also:
>
> Tangente an eine parabel mit der Gleichung x= y²
heißt es hier nicht y=x² ??
> y= 1/8 x² P1 ( -4 / ? )
Wo kommt das [mm] \bruch{1}{8} [/mm] denn auf einmal her? Egal, nehmen wir es halt mit!
[mm] y=\bruch{1}{8}*(-4)=-2
[/mm]
[mm] P_{1}=(-4|-2)
[/mm]
> f' von x = y' = -4x
Das stimmt nu gar nicht. Bei der Ableitung multiplizierst du doch mit dem Wert des Exponenten
und verringerst ihn um den Wert "1", dann gibt das [mm] \bruch{1}{4}*x.
[/mm]
.... denn [mm] \bruch{1}{8}*2=\bruch{1*2}{8}=\bruch{1}{4}
[/mm]
> => f' von x = y' = -4 x (-4) = 16
mit der neuen Erkenntnis ist y'= (-1)
y=-2
y'=m=(-1)
x=-4
> g von x = y = mx x b
g von x =-2=(-1)*(-4)+b
[mm] \Rightarrow [/mm] b=-2
> Engültige Gleichung in Normalform ? = g von x = y = 16x -
> 48
diesmal halt [mm] g_{(x)}=-x-2
[/mm]
nach Roadrunner mit: [mm] g_{(-4)}=y=f'_{(-4)}*(x+4)+f_{(-4)}
[/mm]
[mm] y=(-1)*(x+4)+(-2)=(-1)*x-4+2=-x-2=g_{(x)} [/mm] ---> auch hier stimmt das wieder überein
- ist eine gute Kontrollmöglichkeit - da ja dieselbe Formel - nur anders 
> ist die Normalform eigentlich nicht = a mal x² + b mal x +
> c
Für eine quadratische Funktion ist das richtig: IN FARBE
[mm] f_{(x)}= [/mm] a*x²+ b*x+ c
bei deinem Beispiel:
[mm] f_{(x)}= [/mm] 0,125*x²+ 0*x+ 0
Für eine lineare Funktion:
[mm] g_{(x)}= [/mm] a*x+ b
bei deinem Beispiel:
[mm] g_{(x)}= [/mm] (-1)*x+ (-2)
Verständlich?
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> 2 Aufg.
>
> Wenn jetzt bei P1 beide Punkte gegeben sind, also P1 ( 1 /
> 2)
> rechnet man das dann auch so aus?
Na klar, vom Schema her ändert es sich nicht - warum auch - du sparst dir nur den Schritt das y zu ermitteln.
Liebe Grüße
Herby
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