Tangente im beliebigen Punkt < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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In welchem Punkt schneidet die Tangente im Punkt P(u l v ) des Graphen der natürlichen Exponentialfunktion die x-Achse?
Beschreiben sie mithilfe des Ergebnisses der vorherigen Teilaufgabe, wie man die Tangente in einem beliebigen Kurvenpunkt P (u l v) konstruieren kann. |
Also, die erste Aufgabe war noch relativ einfach.
f(x)= [mm] e^x [/mm]
f'(x) = [mm] e^x
[/mm]
m= [mm] e^u
[/mm]
y= [mm] e^u [/mm] * x + n
[mm] e^u [/mm] = [mm] e^u [/mm] * u + n
n = [mm] e^u- e^u [/mm] * u
y= [mm] e^u [/mm] * x + [mm] e^u -e^u [/mm] * u
0 = [mm] e^u [/mm] * x + [mm] e^u [/mm] - [mm] e^u [/mm] * u
0 = x+1 -u
x= u-1
y= 0
Sx (u-1 l 0)
Das ist das Ergebnis der ersten Teilaufgabe.
Ich verstehe aber nicht wie man die Tangente in einem beliebigen Kurvenpunkt konstruiert? Kann mir da einer helfen? :)
Vielen lieben Dank,
Simon !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo sinesteuter,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Aufgabe:
> In welchem Punkt schneidet die Tangente im Punkt P(u l v )
> des Graphen der natürlichen Exponentialfunktion die
> x-Achse?
>
> Beschreiben sie mithilfe des Ergebnisses der vorherigen
> Teilaufgabe, wie man die Tangente in einem beliebigen
> Kurvenpunkt P (u l v) konstruieren kann.
> Also, die erste Aufgabe war noch relativ einfach.
> f(x)= [mm]e^x[/mm]
> f'(x) = [mm]e^x[/mm]
> m= [mm]e^u[/mm]
> y= [mm]e^u[/mm] * x + n
> [mm]e^u[/mm] = [mm]e^u[/mm] * u + n
> n = [mm]e^u- e^u[/mm] * u
> y= [mm]e^u[/mm] * x + [mm]e^u -e^u[/mm] * u
> 0 = [mm]e^u[/mm] * x + [mm]e^u[/mm] - [mm]e^u[/mm] * u
> 0 = x+1 -u
> x= u-1
> y= 0
>
> Sx (u-1 l 0)
>
> Das ist das Ergebnis der ersten Teilaufgabe.
> Ich verstehe aber nicht wie man die Tangente in einem
> beliebigen Kurvenpunkt konstruiert? Kann mir da einer
> helfen? :)
Lege durch die Punkte P und Sx eine Gerade.
>
> Vielen lieben Dank,
> Simon !
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Wenn ich das aber machen sollte, setze ich P
in m*x + n ein..
v = u*x+n
und was mach ich dann mit Sx? Ich hab gerade irgendwie nen Hänger :-D
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> Wenn ich das aber machen sollte, setze ich P
> in m*x + n ein..
>
> v = u*x+n
>
> und was mach ich dann mit Sx? Ich hab gerade irgendwie nen
> Hänger :-D
Mit "Konstruieren" einer Tangente war doch wohl Zeichnen
gemeint. Wenn du also die Kurve [mm] y=e^x [/mm] gezeichnet und darauf
einen gewissen Punkt P markiert hast, so erhältst du die
Tangente t in P, wenn du den Punkt $\ [mm] P(x_P\ [/mm] |\ [mm] y_P\ [/mm] =\ [mm] e^{x_P})$ [/mm] auf die
x-Achse projizierst mit dem Ergebnis $\ [mm] P'(x_P\ [/mm] |\ 0)$. Dann gehst
du auf der x-Achse von P' um eine Einheit nach links zum
Punkt $\ [mm] S(x_P-1\ [/mm] |\ 0)$. Dann ziehst du die Gerade t durch S und P.
Diese Gerade ist die Tangente an die Exponentialkurve im
Punkt P.
Eine Gleichung für diese Tangente t aufzustellen ist etwas
anderes. t hat die Steigung $\ m\ =\ [mm] y'(x_P)\ [/mm] =\ [mm] e^{x_P}$ [/mm] und
geht durch $\ [mm] S(x_P-1\ [/mm] |\ 0)$ . Also kann man ihre Gleichung
z.B. so schreiben:
$\ [mm] t:\qquad [/mm] y\ =\ [mm] m*(x-x_S)\ [/mm] =\ [mm] e^{x_P}*(x-x_P+1)$
[/mm]
LG Al-Chw.
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Alles klar, hab alles soweit verstanden ! Vielen, vielen Dank dafür.
Wollte aber noch einmal nachfragen, ob es eine plausible Erklärung dafür gibt das man bei einem beliebigen Punkt dann 1 abziehen muss ?
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> Alles klar, hab alles soweit verstanden ! Vielen, vielen
> Dank dafür.
> Wollte aber noch einmal nachfragen, ob es eine plausible
> Erklärung dafür gibt das man bei einem beliebigen Punkt
> dann 1 abziehen muss ?
Betrachte das Dreieck SP'P , seine Kathetenlängen und die
Steigung seiner Hypotenuse. Diese muss der Ableitung der
Funktion [mm] x\mapsto e^x [/mm] im Punkt P entsprechen.
LG Al-Chw.
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