Tangente vonaußerhalb des K. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | r=5
M(0,0)
Die Tangente soll durch P(7,-1) gehen. |
Mein Lösungsansatz (führt leider auf 4 lösungen, von denen nur 2 stimmen):
P liegt nicht auf K. Es muss aber einen Punkt Q(X,Y) geben, der auf K liegt und der mit PQ eine Tangente ist.
1)Gerade MQ=(x,y)
Gerade PQ(7-x,-1-y)
Mit Skalarprodukt: MQ*PQ=0 führt auf 0=7x-x²-y-y²
2)x²+y²=25 , daher ist [mm] x=\wurzel{25-y²}
[/mm]
3) Einsetzen von (2) in (1) bringt:
[mm] 7\wurzel{25-y²}=y+25
[/mm]
Die Lösung der Gleichung ist y1=-4 und y2=3
4)Um jetzt lösungen für x zu finden setze ich einmal y1 und y2 in die Gleichung für K ein und komme auf
P1(3,-4)
P2(-3,-4)
P3(4,3)
P4(-4,3)
Davon stimmen aber nur die erste und dritte Lösung. Warum denn??
vielen dank scon mal :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 So 28.03.2010 | | Autor: | abakus |
> r=5
> M(0,0)
> Die Tangente soll durch P(7,-1) gehen.
> Mein Lösungsansatz (führt leider auf 4 lösungen, von
> denen nur 2 stimmen):
>
> P liegt nicht auf K. Es muss aber einen Punkt Q(X,Y) geben,
> der auf K liegt und der mit PQ eine Tangente ist.
>
> 1)Gerade MQ=(x,y)
> Gerade PQ(7-x,-1-y)
> Mit Skalarprodukt: MQ*PQ=0 führt auf 0=7x-x²-y-y²
>
> 2)x²+y²=25 , daher ist [mm]x=\wurzel{25-y²}[/mm]
... oder [mm] -\wurzel{25-y²}
[/mm]
>
> 3) Einsetzen von (2) in (1) bringt:
> [mm]7\wurzel{25-y²}=y+25[/mm]
> Die Lösung der Gleichung ist y1=-4 und y2=3
>
> 4)Um jetzt lösungen für x zu finden setze ich einmal y1
> und y2 in die Gleichung für K ein und komme auf
> P1(3,-4)
> P2(-3,-4)
> P3(4,3)
> P4(-4,3)
>
> Davon stimmen aber nur die erste und dritte Lösung. Warum
> denn??
Hallo,
quadrieren ist keine äquivalente Umformung; dadurch bekommst du Scheinlösungen, die du nur durch eine Probe erkennst.
Einfaches Beispiel:
Die Gleichung x=-5 hat genau eine Lösung (man darf für x eine -5 einsetzen).
Quadrieren liefert [mm] x^2=25 [/mm] mit den beiden Lösungen 5 und -5. Nur eine dieser beiden Lösungen erfüllt die Ausgangsgleichung.
Gruß Abakus
>
> vielen dank scon mal :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Es ist immer dasselbe... das quadrieren.
Also quadrieren und wurelziehen(?) sind keine äquvi. umformungen.
Jetzt mal eine allgemeine Frage:
Was ist denn mit:
x=5
[mm] e^{x}=e^{5}
[/mm]
Gibt es noch mehr?
Vielen vielen dank schon mal! :)
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Hallo findichgut,
> Es ist immer dasselbe... das quadrieren.
> Also quadrieren und wurelziehen(?) sind keine äquvi.
> umformungen.
Überlege selbst, wie die Folgerungspfeile sind
[mm] $x^2=4\Rightarrow [/mm] x=2$ ?
[mm] $x^2=4\Leftarrow [/mm] x=2$ ?
[mm] $x^2=4\gdw [/mm] x=2$ ?
>
> Jetzt mal eine allgemeine Frage:
> Was ist denn mit:
> x=5
> [mm]e^{x}=e^{5}[/mm]
Das ist eine Äquivalenzumformung, also $x=5 \ [mm] \gdw [/mm] \ [mm] e^x=e^5$
[/mm]
>
> Gibt es noch mehr?
Was? Äquivalenzumformungen? Ja!
> Vielen vielen dank schon mal! :)
Gruß
schachuzipus
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Hallo :)
Also
$ [mm] x^2=4\Rightarrow [/mm] x=2 $ jein, denn x1=2 und x2=-2
$ [mm] x^2=4\Leftarrow [/mm] x=2 $ ? Ja
$ [mm] x^2=4\gdw [/mm] x=2 $ ? Nein
Mit "gibt es noch mehr" meinte ich: Gibt es mehr Umformungen, wie Quadrieren, die eig keine äqu. Umformungen sind, wir sie aber als solche gebrauchen? (Sorry dass ich mich falsch ausgedrückt hatte.)
Danke leute :)
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Hallo nochmal,
> Hallo :)
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> Also
> [mm]x^2=4\Rightarrow x=2[/mm] jein, denn x1=2 und x2=-2
Naja, jein gilt nicht, entweder ja oder nein.
Also hier ganz klar NEIN
> [mm]x^2=4\Leftarrow x=2[/mm] ? Ja
> [mm]x^2=4\gdw x=2[/mm] ? Nein
Genauso ist es!
>
> Mit "gibt es noch mehr" meinte ich: Gibt es mehr
> Umformungen, wie Quadrieren, die eig keine äqu.
> Umformungen sind, wir sie aber als solche gebrauchen?
> (Sorry dass ich mich falsch ausgedrückt hatte.)
Hmm, ja, spontan fällt mir aber nur die Multiplikation mit 0 ein ...
$3x=6$
[mm] $\not\gdw 0\cdot{}3x=0\cdot{}6$
[/mm]
>
> Danke leute :)
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:29 So 28.03.2010 | | Autor: | findichgut |
Alles klar... vielen dank :) :) :)
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