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Tangenten-Satz: Konstruieren eines Rechtecks
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:56 So 29.03.2009
Autor: Cassipaya

Aufgabe
Konstruiere aus einem Quadrat mit der Seitenlänge 4.4 ein flächengleiches Rechteck mit der Voraussetzung für die Seiten a-b=2.1.
Benutze dazu den Tangentensatz

Hallo zusammen

Der Tangentensatz schreibt vor, dass das Quadrat an der Tangente liegen soll. Der Punt B liegt auf dem Schnittpunkt des Radius mit der Tangente, der Punkt A bildet gleichzeitig der Schnittpunkt der Tangente mit einer Sekante an welcher man das Rechteck konstruieren soll.

Die Fläche des Quadrates ist 19.36. Ich darf nichts berechnen, nur konstruieren. Wie konstruiere ich die Differenz?

Vielen Dank für die Hilfe.

Gruss Cassiopaya

        
Bezug
Tangenten-Satz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:42 So 29.03.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Konstruiere aus einem Quadrat mit der Seitenlänge 4.4 ein
> flächengleiches Rechteck mit der Voraussetzung für die
> Seiten a-b=2.1.
>  Benutze dazu den Tangentensatz
>  Hallo zusammen
>  
> Der Tangentensatz schreibt vor, dass das Quadrat an der
> Tangente liegen soll. Der Punt B liegt auf dem Schnittpunkt
> des Radius mit der Tangente, der Punkt A bildet
> gleichzeitig der Schnittpunkt der Tangente mit einer
> Sekante an welcher man das Rechteck konstruieren soll.
>  
> Die Fläche des Quadrates ist 19.36. Ich darf nichts
> berechnen, nur konstruieren. Wie konstruiere ich die
> Differenz?
>  
> Vielen Dank für die Hilfe.
>  
> Gruss Cassiopaya


Hallo,

du meinst sicher den Sekanten-Tangenten-Satz.
Wenn ich deine Bezeichnungen richtig interpretiert
habe, hast du also in der Figur einen Kreis k mit einer
Tangente t, welche den Kreis in einem Punkt B
berührt. Auf t liegt ferner ein Punkt A, durch welchen
eine Sekante s geht, die den Kreis in zwei Punkten
P und Q schneidet (P sei näher bei A als Q).
Dann sagt der Satz, dass

       [mm] |\overline{AB}|^2=|\overline{AP}|*|\overline{AQ}| [/mm]

Du müsstest also die Quadratseitenlänge mit [mm] |\overline{AB}| [/mm]
und die Rechtecksseitenlängen mit [mm] |\overline{AQ}| [/mm] bzw. [mm] |\overline{AP}| [/mm]
identifizieren, nämlich  [mm] a=|\overline{AQ}| [/mm] und [mm] b=|\overline{AP}|. [/mm]
Damit entspräche die Differenz d=a-b der Länge  [mm] d=|\overline{PQ}| [/mm] der
Sehne [mm] \overline{PQ}. [/mm]
Glücklicherweise spielt es für den Sekanten-Tangenten-Satz
gar keine wesentliche Rolle, wie gross der Radius des Kreises
ist. Du kannst also z.B. annehmen, dass die Sehne [mm] \overline{PQ} [/mm]
ein Durchmesser von k sei !
Mit dieser Annahme sollte es nicht allzu schwierig sein,
eine entsprechende Figur zu konstruieren. Fange mit
der Strecke [mm] \overline{PQ} [/mm] an, konstruiere den Kreis
und suche dann eine Tangente t so, dass die Strecke
von ihrem Berührungspunkt B bis zu ihrem Schnitt-
punkt A mit der Geraden PQ die Länge 4.4 cm der
Quadratseite hat.
Alternativ wäre es auch möglich, direkt das Dreieck
ABM (mit M=Kreismittelpunkt) zu konstruieren.

LG    Al-Chwarizmi

Bezug
                
Bezug
Tangenten-Satz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:04 So 29.03.2009
Autor: abakus


> > Konstruiere aus einem Quadrat mit der Seitenlänge 4.4 ein
> > flächengleiches Rechteck mit der Voraussetzung für die
> > Seiten a-b=2.1.
>  >  Benutze dazu den Tangentensatz
>  >  Hallo zusammen
>  >  
> > Der Tangentensatz schreibt vor, dass das Quadrat an der
> > Tangente liegen soll. Der Punt B liegt auf dem Schnittpunkt
> > des Radius mit der Tangente, der Punkt A bildet
> > gleichzeitig der Schnittpunkt der Tangente mit einer
> > Sekante an welcher man das Rechteck konstruieren soll.
>  >  
> > Die Fläche des Quadrates ist 19.36. Ich darf nichts
> > berechnen, nur konstruieren. Wie konstruiere ich die
> > Differenz?
>  >  
> > Vielen Dank für die Hilfe.
>  >  
> > Gruss Cassiopaya
>  
>
> Hallo,
>  
> du meinst sicher den Sekanten-Tangenten-Satz.
>  Wenn ich deine Bezeichnungen richtig interpretiert
>  habe, hast du also in der Figur einen Kreis k mit einer
>  Tangente t, welche den Kreis in einem Punkt B
>  berührt. Auf t liegt ferner ein Punkt A, durch welchen
>  eine Sekante s geht, die den Kreis in zwei Punkten
>  P und Q schneidet (P sei näher bei A als Q).
>  Dann sagt der Satz, dass
>
> [mm]|\overline{AB}|^2=|\overline{AP}|*|\overline{AQ}|[/mm]
>  
> Du müsstest also die Quadratseitenlänge mit
> [mm]|\overline{AB}|[/mm]
>  und die Rechtecksseitenlängen mit [mm]|\overline{AQ}|[/mm] bzw.
> [mm]|\overline{AP}|[/mm]
>  identifizieren, nämlich  [mm]a=|\overline{AQ}|[/mm] und
> [mm]b=|\overline{AP}|.[/mm]
>  Damit entspräche die Differenz d=a-b der Länge  
> [mm]d=|\overline{PQ}|[/mm] der
>  Sehne [mm]\overline{PQ}.[/mm]
>  Glücklicherweise spielt es für den
> Sekanten-Tangenten-Satz
>  gar keine wesentliche Rolle, wie gross der Radius des
> Kreises
>  ist. Du kannst also z.B. annehmen, dass die Sehne
> [mm]\overline{PQ}[/mm]
>  ein Durchmesser von k sei !
>  Mit dieser Annahme sollte es nicht allzu schwierig sein,
>  eine entsprechende Figur zu konstruieren. Fange mit
>  der Strecke [mm]\overline{PQ}[/mm] an, konstruiere den Kreis
>  "und suche dann eine Tangente t so, dass die Strecke"

Hallo,
du sprichst hier eine gewisse Schwierigkeit sehr gelassen aus....
Das klingt sehr nach "Gummigeometrie" und täuscht ein wenig über die Schwierigkeit hinweg.
Wesentlich ist, dass mit deinem Ansatz "PQ als Durchmesser" der Kreisradius bekannt ist und so die Strecke AM als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit bekannten Katheten konstruiert werden kann.

>  von ihrem Berührungspunkt B bis zu ihrem Schnitt-
>  punkt A mit der Geraden PQ die Länge 4.4 cm der
>  Quadratseite hat.
>  Alternativ wäre es auch möglich, direkt das Dreieck
>  ABM (mit M=Kreismittelpunkt) zu konstruieren.
>  
> LG    Al-Chwarizmi


Bezug
                        
Bezug
Tangenten-Satz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:12 So 29.03.2009
Autor: Al-Chwarizmi


>  Hallo,
>  du sprichst hier eine gewisse Schwierigkeit sehr gelassen
> aus....
>  Das klingt sehr nach "Gummigeometrie" und täuscht ein
> wenig über die Schwierigkeit hinweg.
>  Wesentlich ist, dass mit deinem Ansatz "PQ als
> Durchmesser" der Kreisradius bekannt ist und so die Strecke
> AM als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit
> bekannten Katheten konstruiert werden kann.


Guten Abend Abakus,

ich habe mir zuerst eine Zeichnung mit beliebigem
Kreisradius gemacht und dann festgestellt, dass dabei
die Konstruktion irgendwie "in der Luft hängen bleibt" -
bis mir der rettende Gedanke kam, dass eben der Radius
des Kreises gewählt werden kann.
Dass ich dann vorschlage, [mm] \overline{PQ} [/mm] gerade als Durchmesser
zu deklarieren, ist dann einfach die naheliegendste
Wahl - man könnte es auch anders machen.

Was du mit "Gummigeometrie" hier meinst, ist mir nicht
ganz klar.

LG    Al  

Bezug
                                
Bezug
Tangenten-Satz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:25 So 29.03.2009
Autor: abakus


> >  Hallo,

>  >  du sprichst hier eine gewisse Schwierigkeit sehr
> gelassen
> > aus....
>  >  Das klingt sehr nach "Gummigeometrie" und täuscht ein
> > wenig über die Schwierigkeit hinweg.
>  >  Wesentlich ist, dass mit deinem Ansatz "PQ als
> > Durchmesser" der Kreisradius bekannt ist und so die Strecke
> > AM als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit
> > bekannten Katheten konstruiert werden kann.
>
>
> Guten Abend Abakus,
>  
> ich habe mir zuerst eine Zeichnung mit beliebigem
>  Kreisradius gemacht und dann festgestellt, dass dabei
>  die Konstruktion irgendwie "in der Luft hängen bleibt" -
>  bis mir der rettende Gedanke kam, dass eben der Radius
>  des Kreises gewählt werden kann.
>  Dass ich dann vorschlage, [mm]\overline{PQ}[/mm] gerade als
> Durchmesser
>  zu deklarieren, ist dann einfach die naheliegendste
>  Wahl - man könnte es auch anders machen.

Dieser Ansatz ist doch völlig in Ordnung und sehr zielführend.

>  
> Was du mit "Gummigeometrie" hier meinst, ist mir nicht
>  ganz klar.

Damit bezeichnen manche Leute das Verfahren "Wir bewegen den Punkt so lange auf seinem geometrischen Ort, bis alles passt."
Gruß Abakus

>  
> LG    Al  


Bezug
                                        
Bezug
Tangenten-Satz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:54 Mo 30.03.2009
Autor: Al-Chwarizmi

Aha, jetzt habe ich begriffen, was du mit "Gummigeometrie"
gemeint hast.

Nur um dies klar zu stellen: ich habe mir diese "Suche der
richtigen Tangente" auch etwas anders vorgestellt, nämlich
im Einzelnen:

1.) Wähle einen beliebigen Punkt K auf k und zeichne von ihm
    ausgehend (nach allen Regeln der Kunst...) eine tangentiale
    Strecke [mm] \overline{KT} [/mm] der Länge [mm] |\overline{KT}|=a= [/mm] Quadratseitenlänge.
2.) Zeichne den zu k konzentrischen Kreis [mm] \overline{k} [/mm] durch T.
3.) Schneide [mm] \overline{k} [/mm] mit der Geraden PQ und bezeichne denjenigen
    Schnittpunkt, der näher bei P liegt, mit A.
4.) Konstruiere den Thaleskreis über [mm] \overline{AM}, [/mm] um der Voll-
    ständigkeit halber noch den Berührungspunkt B zu bestimmen.
    (Notwendig wäre dieser Punkt allerdings nicht, da ja nach der
    Konstruktion des Punktes A die gesuchten Rechtecksseitenlängen
    [mm] a=|\overline{AQ}| [/mm] und [mm] b=|\overline{AP}| [/mm] mit dem Zirkel abgreifbar sind.)
    

Sich diese einzelnen Schritte auszudenken, wollte ich aber
gerne der Anfragerin Cassiop....a überlassen.


Gruss und guten Start in die neue Woche !      Al-Chw.


Bezug
                                                
Bezug
Tangenten-Satz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:06 Mo 30.03.2009
Autor: weduwe

eine alternative wäre die umsetzung über den guten alten pythagoras.
mit den katheten [mm]a =4.4[/mm] und [mm] b=\frac{2.1}{2} [/mm]

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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