Tangentenberechnung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Mi 21.01.2015 | | Autor: | thadod |
Hallo zusammen und vielen Dank für eure Hilfe,
ich habe eine kleine Frage. Ich soll die Tangente einer Kurve im Punkt P(2,4) berechnen. Die Funktion f(x)=x².
Zu meiner herangehensweise:
1. Tangentengleichung aufstellen: t(x)=mx+n
2. Erste Ableitung der Funktion f'(x)=2x
3. Einsetzen von [mm] x_{0}=2 [/mm] in f'(x) liefert f'(x)=4
4. Es gilt f'(x)=m=4
5. Einsetzen f'(x)=m=4 in t(x) liefer t(x)=4x+n
6. Es soll gelten [mm] f(x_{0})=t(x_{0}), [/mm] d.h. 4=8+n
7. Auflösen nach n liefert n=-4
8. f'(x)=m=4 und n=-4 in t(x) liefert die Tangentengleichung der Parabel
Soweit so gut. Ich soll nun weiterhin das ganze in Parameterdarstellung darstellen mit y=x²
Meine bisherige Überlegung:
Allgemein: Die Gleichung einer Tangente einer Kurve (Parabel) y=y(u) am Punkt [mm] x_{1}=x(u_{1}), y_{1}=y(u_{1}) [/mm] lautet [mm] x(t)=x(u_{1})+u\dot x(u_{1}) [/mm] und [mm] y(t)=y(u_{1})+u\dot y(u_{1})
[/mm]
Ich habe die Funktion y=x² nun zunächst wie folgt in Parameterdarstellung geschrieben:
[mm] \wurzel{y}-x=0 [/mm] und daher x=u; y=u² mit [mm] \dot{x}=1, \dot{y}=2u
[/mm]
Es soll nun ebenfalls die Tangente am Punkt P(2,4) berechnet bzw. aufgestellt werden. Leider stehe ich nun auf dem Schlauch. Habe ich bereits alles zusammen, was ich zur Lösung benötige? Wie kann ich fortfahren?
Für eine Antwort wäre ich sehr dankbar.
Vielen Dank und mit freundlichen Grüßen thadod
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:39 Do 22.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen und vielen Dank für eure Hilfe,
>
> ich habe eine kleine Frage. Ich soll die Tangente einer
> Kurve im Punkt P(2,4) berechnen. Die Funktion f(x)=x².
>
> Zu meiner herangehensweise:
>
> 1. Tangentengleichung aufstellen: t(x)=mx+n
> 2. Erste Ableitung der Funktion f'(x)=2x
> 3. Einsetzen von [mm]x_{0}=2[/mm] in f'(x) liefert f'(x)=4
> 4. Es gilt f'(x)=m=4
> 5. Einsetzen f'(x)=m=4 in t(x) liefer t(x)=4x+n
> 6. Es soll gelten [mm]f(x_{0})=t(x_{0}),[/mm] d.h. 4=8+n
> 7. Auflösen nach n liefert n=-4
> 8. f'(x)=m=4 und n=-4 in t(x) liefert die
> Tangentengleichung der Parabel
>
> Soweit so gut. Ich soll nun weiterhin das ganze in
> Parameterdarstellung darstellen mit y=x²
>
> Meine bisherige Überlegung:
>
> Allgemein: Die Gleichung einer Tangente einer Kurve
> (Parabel) y=y(u) am Punkt [mm]x_{1}=x(u_{1}), y_{1}=y(u_{1})[/mm]
> lautet [mm]x(t)=x(u_{1})+u\dot x(u_{1})[/mm] und [mm]y(t)=y(u_{1})+u\dot y(u_{1})[/mm]
>
> Ich habe die Funktion y=x² nun zunächst wie folgt in
> Parameterdarstellung geschrieben:
>
> [mm]\wurzel{y}-x=0[/mm] und daher x=u; y=u² mit [mm]\dot{x}=1, \dot{y}=2u[/mm]
>
> Es soll nun ebenfalls die Tangente am Punkt P(2,4)
> berechnet bzw. aufgestellt werden. Leider stehe ich nun auf
> dem Schlauch. Habe ich bereits alles zusammen, was ich zur
> Lösung benötige? Wie kann ich fortfahren?
Es ist [mm] \dot{x}(2)=1 [/mm] und [mm] \dot{y}(2)=4.
[/mm]
Die Tangente am Punkt (2,4) ist dann in Parameterform gegeben durch
[mm] \vektor{x(2) \\ y(2)}+t\vektor{ \dot{x}(2) \\ \dot{y}(2)} [/mm] (t [mm] \in \IR),
[/mm]
also durch
[mm] \vektor{2 \\ 4}+t\vektor{ 1 \\ 4} [/mm] (t [mm] \in \IR).
[/mm]
FRED
>
> Für eine Antwort wäre ich sehr dankbar.
>
> Vielen Dank und mit freundlichen Grüßen thadod
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Do 22.01.2015 | | Autor: | thadod |
> Es ist [mm]\dot{x}(2)=1[/mm] und [mm]\dot{y}(2)=4.[/mm]
>
> Die Tangente am Punkt (2,4) ist dann in Parameterform
> gegeben durch
>
> [mm]\vektor{x(2) \\ y(2)}+t\vektor{ \dot{x}(2) \\ \dot{y}(2)}[/mm]
> (t [mm]\in \IR),[/mm]
>
> also durch
>
> [mm]\vektor{2 \\ 4}+t\vektor{ 1 \\ 4}[/mm] (t [mm]\in \IR).[/mm]
>
> FRED
> >
> > Für eine Antwort wäre ich sehr dankbar.
> >
> > Vielen Dank und mit freundlichen Grüßen thadod
>
Hallo fred97 und vielen Dank für deine Antwort bzw. Lösung...
was sich mir (eventuell auch bildlich) daraus leider noch nicht erschließen mag... Warum wird vom Punkt P(2,4) in deiner Berechnung nur der Punkt 2 berücksichtigt und nicht der Punkt 4? Und wie ist es mir nun möglich, einen bestimmten Punkt der Tangentengleichung zu berechnen für z.B. t=0 erhalte ich ja:
[mm] \vektor{2 \\ 4}+\vektor{ 1 \\ 4}=\vektor{ 2 \\ 4}. [/mm] Wäre das dann der Punkt an dem sich die Tangente und die Parabel schneiden???
Mit freundlichen Grüßen Dominic Vandrey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:20 Do 22.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Es ist [mm]\dot{x}(2)=1[/mm] und [mm]\dot{y}(2)=4.[/mm]
> >
> > Die Tangente am Punkt (2,4) ist dann in Parameterform
> > gegeben durch
> >
> > [mm]\vektor{x(2) \\ y(2)}+t\vektor{ \dot{x}(2) \\ \dot{y}(2)}[/mm]
> > (t [mm]\in \IR),[/mm]
> >
> > also durch
> >
> > [mm]\vektor{2 \\ 4}+t\vektor{ 1 \\ 4}[/mm] (t [mm]\in \IR).[/mm]
> >
> > FRED
> > >
> > > Für eine Antwort wäre ich sehr dankbar.
> > >
> > > Vielen Dank und mit freundlichen Grüßen thadod
> >
>
> Hallo fred97 und vielen Dank für deine Antwort bzw.
> Lösung...
>
> was sich mir (eventuell auch bildlich) daraus leider noch
> nicht erschließen mag... Warum wird vom Punkt P(2,4) in
> deiner Berechnung nur der Punkt 2 berücksichtigt und nicht
> der Punkt 4?
Der wird doch berücksichtigt: y(2)=4
> Und wie ist es mir nun möglich, einen
> bestimmten Punkt der Tangentengleichung zu berechnen für
> z.B. t=0 erhalte ich ja:
>
> [mm]\vektor{2 \\ 4}+\vektor{ 1 \\ 4}=\vektor{ 2 \\ 4}.[/mm]
Hä ? für t=0 bekommst Du
[mm]\vektor{2 \\ 4}+0*\vektor{ 1 \\ 4}=\vektor{ 2 \\ 4}.[/mm]
> Wäre
> das dann der Punkt an dem sich die Tangente und die Parabel
> schneiden???
Tangente und Parabel berühren sich im Punkt P(2,4) !
P(2,4) war doch der Punkt auf dem Graphen der Funktion [mm] f(x)=x^2, [/mm] an den Du die Tangente legen sollst.
FRED
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> Mit freundlichen Grüßen Dominic Vandrey
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