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Forum "Differenzialrechnung" - Tangentenberechnung
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Tangentenberechnung: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:27 Sa 10.01.2009
Autor: Schachschorsch56

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=0.2x^4-1.8x^2 [/mm]

Gesucht werden die beiden Tangenten, die durch den Hochpunkt von f gehen und den Funktionsgraphen jeweils 1x kurz vor den Tiefpunkten berühren.

Ich habe zuerst die Extrempunkte berechnet,
also [mm] f'(x)=0=0.8x^3-3.6x [/mm]
ergab [mm] x_1=0 \wedge x_2=\bruch{-3\wurzel{2}}{2} \wedge x_3=\bruch{3\wurzel{2}}{2} [/mm]

[mm] f''(x)=2.4x^2-3.6 [/mm] war für den x-wert 0 < 0 , also war dort der Hochpunkt. Für die anderen beiden war f''(x)>0. Dort waren also die beiden Tiefpunkte.

Jetzt sollte ich die beiden Tangenten suchen und weiß nun nicht weiter ...

Das einzige, was ich weiß ist, dass sie durch den HP [0;0] gehen und jeweils den Funktionsgraphen 1x berühren, wobei die Steigung 1x m und 1x -m, die x-werte bis auf das Vorzeichen gleich und die y-Werte gleich sind.

Ich bitte um einen Tipp !

Schorsch


Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.

        
Bezug
Tangentenberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:16 Sa 10.01.2009
Autor: MathePower

Hallo Schachschorsch56,

> Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=0.2x^4-1.8x^2[/mm]
>  
> Gesucht werden die beiden Tangenten, die durch den
> Hochpunkt von f gehen und den Funktionsgraphen jeweils 1x
> kurz vor den Tiefpunkten berühren.
>  Ich habe zuerst die Extrempunkte berechnet,
>  also [mm]f'(x)=0=0.8x^3-3.6x[/mm]
>  ergab [mm]x_1=0 \wedge x_2=\bruch{-3\wurzel{2}}{2} \wedge x_3=\bruch{3\wurzel{2}}{2}[/mm]
>  
> [mm]f''(x)=2.4x^2-3.6[/mm] war für den x-wert 0 < 0 , also war dort
> der Hochpunkt. Für die anderen beiden war f''(x)>0. Dort
> waren also die beiden Tiefpunkte.
>  
> Jetzt sollte ich die beiden Tangenten suchen und weiß nun
> nicht weiter ...
>  
> Das einzige, was ich weiß ist, dass sie durch den HP [0;0]
> gehen und jeweils den Funktionsgraphen 1x berühren, wobei
> die Steigung 1x m und 1x -m, die x-werte bis auf das
> Vorzeichen gleich und die y-Werte gleich sind.
>  
> Ich bitte um einen Tipp !


Wir wissen also, daß die Tangente eine Ursprungsgerade ist.

Es geht jetzt um die Bestimmung des Berührpunktes.

Daher ist folgende Gleichung zu lösen:

[mm]f\left(x_{B}\right)=x_{B}*f'\left(x_{B}\right)[/mm]

, wobei [mm]x_{B}[/mm] der Berührpunkt ist.


>  
> Schorsch
>  
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum
> gestellt.


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Tangentenberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:21 So 11.01.2009
Autor: Schachschorsch56

Ich begreife das heute einfach nicht und mache morgen weiter...

[mm] f'(x)=x^3-3x [/mm] = [mm] x(x^2-3) [/mm] ich komme dennoch nicht auf [mm] x_B... [/mm]

Schorsch



Bezug
                
Bezug
Tangentenberechnung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:53 So 11.01.2009
Autor: Schachschorsch56

Aufgabe 1
Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=0.2x^4-1.8x^2 [/mm]

Gesucht werden die beiden Tangenten, die durch den Hochpunkt von f gehen und den Funktionsgraphen jeweils 1x kurz vor den Tiefpunkten berühren.

Ich habe zuerst die Extrempunkte berechnet,
also [mm] f'(x)=0=0.8x^3-3.6x [/mm]
ergab [mm] x_1=0 \wedge x_2=\bruch{-3\wurzel{2}}{2} \wedge x_3=\bruch{3\wurzel{2}}{2} [/mm]

[mm] f''(x)=2.4x^2-3.6 [/mm] war für den x-wert 0 < 0 , also war dort der Hochpunkt. Für die anderen beiden war f''(x)>0. Dort waren also die beiden Tiefpunkte.

Jetzt sollte ich die beiden Tangenten suchen und weiß nun nicht weiter ...

Das einzige, was ich weiß ist, dass sie durch den HP [0;0] gehen und jeweils den Funktionsgraphen 1x berühren, wobei die Steigung 1x m und 1x -m, die x-werte bis auf das Vorzeichen gleich und die y-Werte gleich sind.

Ich bitte um einen Tipp !

Schorsch


Leider hat mich der Tipp nicht weitergebracht...

Ich versuchte es nun mit der Wendetangente. In der Hoffnung, dass es die gesuchte Tangente ist:

Als Wendepunkte erhielt ich [mm] WP_1 [-\bruch{\wurzel{6}}{2}; -\bruch{9}{4}] [/mm] und [mm] WP_2 [\bruch{\wurzel{6}}{2}; -\bruch{9}{4}] [/mm]

Die Wendetangente hat die Form

[mm] t_{WP}(x_{WP})=f'(x_{WP})x+n [/mm]

[mm] n=\bruch{27}{20} [/mm] und die Tangentengleichung heißt:

[mm] t_{WP}=\bruch{6\wurzel{6}}{5}x+\bruch{27}{20} [/mm]

Die Tangente geht natürlich nicht (wie gefordert) durch den Hochpunkt [0;0], sonst muesste ja n=0 sein.

Wie finde ich nun die Tangente mit dem Berührpunkt [mm] [x_B [/mm] ; [mm] f(x_B)] [/mm] ?

Schorsch

Bezug
                        
Bezug
Tangentenberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:05 So 11.01.2009
Autor: reverend

Hallo Schachschorsch,

das hat Mathepower doch schon beantwortet.

> Wir wissen also, daß die Tangente eine Ursprungsgerade ist.
> Es geht jetzt um die Bestimmung des Berührpunktes.
> Daher ist folgende Gleichung zu lösen:

$ [mm] f\left(x_{B}\right)=x_{B}\cdot{}f'\left(x_{B}\right) [/mm] $

> , wobei $ [mm] x_{B} [/mm] $ der Berührpunkt ist.

Nimm doch mal diesen Ansatz und rechne los.

lg,
reverend

Bezug
                                
Bezug
Tangentenberechnung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:17 So 11.01.2009
Autor: Schachschorsch56

Aufgabe
Benutze die Gleichung [mm] f(x_B)=x_B*f'(x_B) [/mm] und rechne den Berührpunkt der durch den Ursprung gehenden Tangente an [mm] f(x)=0.2x^4-1.8x^2 [/mm] aus.

Ich komme einfach nicht weiter !

Ich setzte [mm] f'(x)=0.8x^3-3.6x [/mm] in die Gleichung ein und erhielt:

[mm] f(x_B)=x_B [/mm] * [mm] (0.8(x_B)^3 [/mm] - [mm] 3.6(x_B)) [/mm]

und nun ?

Schorsch

Bezug
                                        
Bezug
Tangentenberechnung: einsetzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:27 So 11.01.2009
Autor: Loddar

Hallo Schorsch!


Du musst auch für $f(x)_$ den entsprechenden Funktionsterm mit [mm] $f(x_B) [/mm] \ = \ [mm] 0.2*x_B^4-1.8*x_B^2$ [/mm] einsetzen.

Damit hast Du dann eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten: [mm] $x_B$ [/mm] .


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Tangentenberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:19 So 11.01.2009
Autor: Schachschorsch56

Danke Loddar !

Nun kam ich (endlich) weiter:

Ich muste also folgende Gleichungen benutzen:

[mm] f(x_B)=x_B*f'(x_B)=x_B*(0.8x_B^3-3.6x_B)=0.8x_B^4-3.6x_B^2 [/mm]

und

[mm] f(x_B)=0.2x_B^4-1.8x^2 [/mm]

dann nur noch gleichsetzen...

[mm] 0.2^x_B^4-1.8x_B^2=0.8x_B^4-3.6x_B^2 [/mm] ergibt

[mm] 0.6x_B^4-1.8x_B^2=0 [/mm]  | : 0.6

[mm] x_B^4-3x_B^2=0 [/mm]  | [mm] x_B^2 [/mm] ausklammern

[mm] x_B^2(x_B^2-3)=0 [/mm]

[mm] \Rightarrow x_{B1}=0 \wedge x_{B2}=-\wurzel{3} \wedge x_{B3}=\wurzel{3} [/mm]

Um die Tangente durch [mm] x_{B2} [/mm] zu bestimmen, setzte ich [mm] x_{B2} [/mm] in die 1.Ableitung von f ein und erhielt die Tangentensteigung m:

[mm] f'(x_{B2}=0.8x_{B2}^3-3.6x_{B2}=0.8(\wurzel{3})^3-3.6(-\wurzel{3} [/mm]

[mm] =0.8*3*(-\wurzel{3})+3.6*[-\wurzel{3}) =-2.4\wurzel{3}+3.6\wurzel{3} [/mm]

[mm] =1.2\wurzel{3} [/mm] oder [mm] \bruch{6}{5}\wurzel{3} [/mm]

Die gesuchte Tangentenfunktion lautet dann:

t(x)= [mm] \bruch{6}{5}\wurzel{3}x [/mm]

Die Tangente geht natürlich durch den Hochpunkt von f (=Ursprung).

Die Gleichung der 2.Tangente kann man dann auch sofort erkennen, da die Steigung gleich - [mm] \bruch{6}{5}\wurzel{3} [/mm] sein muss.

Danke für Eure Hilfe.

Schorsch

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