Tangentenbestimmung < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Tangenten von einem Punkt P außerhalb des Kreises kann man mit Hilfe des Thaleskreises bestimmen. Dazu bestimmt man eine Gleichung des Thaleskreises k1 über der Strecke MP. Die Berührpunkte der gesuchten Tangenten sind die Schnittpunkte der Kreise k und k1. Bestimmen Sie mit diesem Verfahren Gleichungen der Tangenten von P an den Kreis k.
a) P(7/1) k: [mm] x^2+y^2=25 [/mm] |
Hi,
mit dieser Aufgabe ist mein Bruder an mich herangetreten.
Ich habe aber leider auch keinen Schimmer mehr von Thaleskreisen (welche Bedingungen muss der Kreis erfüllen... usw.) Ich weiß einfach nicht wie ich den Thaleskreis zu bestimmen habe.
Ich wär euch sehr dankbar wenn ihr mir helfen könntet.
|
|
| |
|
> Tangenten von einem Punkt P außerhalb des Kreises kann man
> mit Hilfe des Thaleskreises bestimmen. Dazu bestimmt man
> eine Gleichung des Thaleskreises k1 über der Strecke MP.
> Die Berührpunkte der gesuchten Tangenten sind die
> Schnittpunkte der Kreise k und k1. Bestimmen Sie mit diesem
> Verfahren Gleichungen der Tangenten von P an den Kreis k.
> a) P(7/1) k: [mm]x^2+y^2=25[/mm]
> Hi,
> mit dieser Aufgabe ist mein Bruder an mich herangetreten.
> Ich habe aber leider auch keinen Schimmer mehr von
> Thaleskreisen (welche Bedingungen muss der Kreis
> erfüllen... usw.) Ich weiß einfach nicht wie ich den
> Thaleskreis zu bestimmen habe.
> Ich wär euch sehr dankbar wenn ihr mir helfen könntet.
Der fragliche Thaleskreis muss die Strecke vom Mittelpunkt $M$ des gegebenen Kreises $k$ zum gegebenen Punkt $P$ als Durchmesser haben. Die Koordinaten seines Mittelpunktes sind daher die Mittelwerte der Koordinaten von $M$ und $P$, sagen wir [mm] $M_1=(x_1|y_1)$ [/mm] und sein Radius ist die Hälfte der Strecke [mm] $\overline{MP}$, [/mm] sagen wir [mm] $r_1$. [/mm] Seine Kreisgleichung lautet daher [mm] $(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r_1^2$. [/mm] Du hast somit folgendes Gleichungssystem für die Koordinaten der Schnittpunkte $(x|y)$ von $k$ und Thaleskreis [mm] $k_1$
[/mm]
[mm]\begin{array}{rcrcl|l}
x^2 &+& y^2 &=& 25 & \text{da $(x|y)\in k$}\\
(x-x_1)^2 &+& (y-y_1)^2 &=& r_1^2 & \text{da $(x|y)\in k_1$}\\\cline{1-5}
\end{array}
[/mm]
(dies sind gerade die Berührpunkte [mm] $B_{1,2}(x|y)$ [/mm] der Tangenten von $P$ an $k$).
Und wie löst man ein solches Gleichungssystem? - Indem man die beiden quadratischen Gleichungen voneinander subtrahiert: ergibt eine in $x$ und $y$ lineare Gleichung. Diese lineare Gleichung löst man nach $x$ oder $y$ auf und eliminiert so $x$ bzw. $y$ in einer der quadratischen (Kreis-)Gleichungen. Ergibt eine quadratische Gleichung in einer einzigen Variablen, die man natürlich problemlos lösen kann. Den zugehörigen Wert der zweiten Koordinate des Berührpunktes $B$ der Tangenten bestimmt man, indem man den gefundenen Wert der einen Koordinate in die lineare Gleichung einsetzt.
|
|
|
| |
|
Hallo, erst einmal vielen Dank für die rasche Antwort.
Mir ist jetzt allerdings nur noch nicht klar, wie ich den radius des Thaleskreises berechne um so das GLS lösen zu können.
Ich meine ich habe, ja den Mittelpunkt des gegebenen Kreises gar nicht.
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
> Hallo, erst einmal vielen Dank für die rasche Antwort.
> Mir ist jetzt allerdings nur noch nicht klar, wie ich den
> radius des Thaleskreises berechne um so das GLS lösen zu
> können.
> Ich meine ich habe, ja den Mittelpunkt des gegebenen
> Kreises gar nicht.
Doch, doch, die hast Du. Eine allgemeine Kreisgleichung in Mittelpunktsform lautet [mm] $(x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2$. [/mm] Du brauchst die gegebene Kreisgleichung $k: [mm] x^2+y^2=25$ [/mm] also nur auf diese Form zu transformieren, um Mittelpunkt [mm] $M(x_M|y_M)$ [/mm] und Radius $r$ ablesen zu können: $k: [mm] (x-0)^2+(y-0)^2=5^2$. [/mm] Der Mittelpunkt von $k$ ist also $M(0|0)$ und sein Radius $r=5$.
Der Mittelpunkt [mm] $M_1$ [/mm] des Thaleskreises ist, wie ich geschrieben hatte, der Mittelpunkt der Strecke mit den Endpunkten $M(0|0)$ und $P(7|1)$. Also sind die Koordinaten von [mm] $M_1$ [/mm] die Mittelwerte der entsprechenden Koordinaten von $M$ und $P$, das heisst: [mm] $M_1=\big(\tfrac{7}{2}\mid \tfrac{1}{2}\big)$.
[/mm]
Da die Länge der Strecke [mm] $\overline{MP}$ [/mm] gleich [mm] $\sqrt{(7-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{50}$ [/mm] ist, ist der Radius des Thaleskreises [mm] $r_1=\frac{\sqrt{50}}{2}$ [/mm] (denn sein Mittelpunkt ist die Mitte der Strecke [mm] $\overline{MP}$ [/mm] und [mm] $\overline{MP}$ [/mm] muss ein Durchmesser des Thaleskreises sein).
Damit lautet das Gleichungssystem zur Bestimmung der Berührpunkte der Tangenten (=Schnittpunkte von $k$ und [mm] $k_1$):
[/mm]
[mm]\begin{array}{rcrcl|l} x^2 &+& y^2 &=& 25 & \text{da $(x|y)\in k$}\\ \big(x-\tfrac{7}{2}\big)^2 &+& \big(y-\tfrac{1}{2}\big)^2 &=& \tfrac{25}{2} & \text{da $(x|y)\in k_1$}\\\cline{1-5}
\end{array}[/mm]
Zur Kontrolle: die gesuchten beiden Lösungen dieses Gleichungssystems sind [mm] $B_1(4|-3)$ [/mm] und [mm] $B_2(4|3)$. [/mm] Den prinzipellen Weg zu diesen Lösungen habe ich schon in meiner ersten Antwort skizziert.
|
|
|
|
