Tangentengleichung < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Fr 20.03.2009 | | Autor: | freak900 |
| Aufgabe | Hallo, könnt ihr mir hier weiterhelfen?
Wie lautet die Tangente an die Kurve:
y= x² + 3x an der STelle x=1
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1. Wie kann ich mir das vorstellen? Ein Koordinatensystem mit y=x²+3x (da stelle ich mir einfach eine Hyperbel vor, oder?
2. Zur Tangente, da geht einfach eine Gerade durch auf der X-Achse liegenden Punkt 1, stimmts?
3. Und gefragt sind jetzt die Koordinaten der Kurve, verstehe ich das richtig?
4. Also los:
wieso braucht man die Steigung? (= erste Ableitung)
y'=2x+3
5. y'(1) = 5 wieso setzt ich hier den x-wert in die Steigung ein?
6. t: y: kx+d Für die lineare Steigung; weiß vlt. jemand für was die buchstaben stehen?
7. Punkt (1/1+3=4) Ist das jetzt der Punkt wo die Tangente auf den x-wert trifft?
8. y=kx+d 4=5*1 +d d=-1
9. tangente:d = 5x-1 wie komme ich jetzt auf das?
HERZLICHEN DANK
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Fr 20.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, könnt ihr mir hier weiterhelfen?
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> Wie lautet die Tangente an die Kurve:
>
> y= x² + 3x an der STelle x=1
ich mache mal eine Kurzfassung, ohne auf Deine Fragen konkret einzugehen.
Oben hast Du eine Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$, [/mm] Du kannst Dir den Graphen einer solchen im [mm] $\IR^2$ [/mm] visualisieren. Wenn Du das tust, so wirst Du sehen, dass die obige Funktion eine verschobene Normalparabel im [mm] $\IR^2$ [/mm] beschreibt. Das ist zwar nicht so wichtig, aber wichtig ist, dass Du an jedem Punkt des Graphen der Funktion eine Tangente anlegen kannst (wobei es hier laut Aufgabenstellung eigentlich nur wichtig wäre, dass dies bei dem Punkt [mm] $P(x_0|f(x_0))=P(1|4)$ [/mm] klappt), was sich algebraisch daraus ergibt, dass die obige Funktion (oben reicht eigentlich: an der Stelle [mm] $x=1\,$) [/mm] differenzierbar ist. Die Steigung der Tangente durch einen Punkt [mm] $P(x_0|f(x_0)) \in Graph(f):=\{(x|f(x)): x \in \IR\} \subset \IR^2$ [/mm] ist gerade [mm] $f'(x_0)\,.$
[/mm]
Eine Tangente im [mm] $\IR^2$ [/mm] an den Graph von [mm] $f\,$ [/mm] ist der Graph einer affin linearen Funktion [mm] $t:\IR \to \IR$, [/mm] bzw. mit anderen Worten: ' Der Graph von [mm] $t\,$ [/mm] ist eine Gerade im [mm] $\IR^2$, [/mm] was nichts anderes bedeutet, als dass [mm] $t\,$ [/mm] die Form
[mm] $$t(x)=m*x+b\,$$ [/mm]
hat. Dabei ist [mm] $m\,$ [/mm] die Steigung und [mm] $b\,$ [/mm] ein noch zu bestimmende [mm] $y\,$-Achsenabschnitt. [/mm] Da wir die Tangente an den Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] durch [mm] $P(x_0|f(x_0))$ [/mm] betrachten, hat [mm] $t\,$ [/mm] gerade [mm] $m=f'(x_0)$ [/mm] als Steigung. Wir wissen also:
[mm] $$t(x)=f'(x_0)*x+b\,.$$
[/mm]
Ferner soll auch der Punkt [mm] $P(x_0|f(x_0))$ [/mm] zum Graphen von [mm] $t\,$ [/mm] gehören, also folgt
[mm] $$t(x_0)=f(x_0)$$
[/mm]
und somit
[mm] $$t(x_0)=f(x_0)=f'(x_0)*x_0+b$$
[/mm]
und folglich
[mm] $$b=f(x_0)-x_0 f'(x_0)\,.$$
[/mm]
Das liefert die Gleichung
[mm] $$t(x)=f'(x_0)*x+\Big(f(x_0)-x_0 f'(x_0)\Big)$$
[/mm]
und damit
[mm] $$t(x)=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)\,.$$
[/mm]
Bei Dir ist nun einfach speziell [mm] $x_0=1$ [/mm] und damit [mm] $f(x_0)=f(1)=4$ [/mm] in die letztstehende Gleichung einzusetzen.
P.S.:
Ein vll. auch nützlicher Link dazu:
[mm] $\bullet$[/mm] ![[]](/images/popup.gif) Link
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Fr 20.03.2009 | | Autor: | freak900 |
| Aufgabe | ok danke
und darf ich das nochmal zusammenfassen:
1. Ich setzte den x wert in die Funktion und erhalte den Koordinaten wo sich Tangente und der Graph treffen. ?
2. wenn d=-1 ist, was bedeutet das (vor allem für die Zeichnung)?
3. zur meiner ursprünglich letzten Frage: tangente:d = 5x-1 was bedeutet das? Bzw: so wie in dem Beispiel von Marcel: Insgesamt ergibt das die Tangentengleichung y=4x-4; Was sagt das aus?
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DANKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Fr 20.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ok danke
>
> und darf ich das nochmal zusammenfassen:
>
> 1. Ich setzte den x wert in die Funktion und erhalte den die
> Koordinaten wo sich Tangente und der Graph treffen. ?
genau!
> 2. wenn d=-1 ist, was bedeutet das (vor allem für die
> Zeichnung)?
Bei Dir war ja [mm] $t(x)=\,k*x+d\,,$ [/mm] also mein [mm] $m\,$ [/mm] entspricht bei Dir [mm] $k\,,$ [/mm] d.h. [mm] $k\,$ [/mm] ist die Steigung der Tangente.Das [mm] $d\,$ [/mm] bei Dir hatte ich [mm] $b\,$ [/mm] genannt, das ist der [mm] $y\,-$Achsenabschnitt. $d=-1\,$ [/mm] bedeutet also, dass $-1$ der [mm] $y\,-$Achsenabschnitt [/mm] ist, also dass der Graph von [mm] $t\,$ [/mm] durch den Punkt $(0|-1)$ geht. (Siehe auch das Bild [mm] $(\star)$, [/mm] also das, wo nur die grünen Gerade zu sehen ist!)
> 3. zur meiner ursprünglich letzten Frage: tangente:d = 5x-1
Das [mm] $d\,$ [/mm] macht da keinen Sinn, ihr schreibt das vielleicht so:
[mm] $$\text{Tangente}: [/mm] y=5x-1 [mm] \;\;\; \text{(oder besser:}\;\; [/mm] y(x)=5x-1 [mm] \text{)}\,.$$
[/mm]
Wenn man die Funktion für die gesuchte Tangente mit [mm] $t\,$ [/mm] bezeichnet,so wäre
[mm] $$t(x)\,=5x-1\,$$
[/mm]
die gesuchte Funktion.
> was bedeutet das? Bzw: so wie in dem Beispiel von
> Marcel: Insgesamt ergibt das die Tangentengleichung
> y=4x-4; Was sagt das aus?
Wenn $y=y(x)=4x-4$ wäre, dann würde das bedeuten, dass der Graph von [mm] $y\,$ [/mm] gerade die gesuchte Tangente am Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] bzgl. der betrachteten Stelle ist. Aber diese Tangentengleichung hattest Du ja in der von mir verlinkten pdf-Datei gefunden, also sollte ich nochmal erwähnen, dass Du Dich hier auf diese Datei beziehst (sie ist übrigens nicht von mir erstellt, nur verlinkt). (Welche Bedeutung die Steigung und der [mm] $y\,$-Achsenabschnitt [/mm] für eine Gerade haben, kannst Du auch hier nochmal nachlesen.)
Also machen wir das Ergebnis mal ein wenig anschaulischer:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier siehst Du einen 'Ausschnitt' des Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^2+3x\,.$ [/mm] Nun wollen wir an diesen Graphen eine Tangente anlegen, und zwar an der Stelle [mm] $x=1\,.$ [/mm] Diese Tangente wird durch eine Geradengleichung beschrieben, ihr hattet dabei geschrieben:
[mm] $$t(x)\,=k*x+d\,$$
[/mm]
sei die Geradengleichung für die gesuchte Tangente.
Nun weiß man, dass die Steigung der Tangente dann gerade durch $f'(1)$ beschrieben wird. Du rechnest nun aus, dass [mm] $f'(1)=5\,$ [/mm] ist, und damit siehst Du schonmal ein, dass die Tangente jedenfalls durch
[mm] $$t(x)\,=5*x+d$$
[/mm]
beschrieben wird. Dabei ist [mm] $d\,$ [/mm] noch der gesuchte [mm] $y\,-$Achsenabschnitt [/mm] (beachte, dass eine solche Gerade eindeutig durch ihre Steigung und ihren [mm] $y\,-$Achsenabschnitt [/mm] bestimmt ist).
Du brauchst also noch eine Bedingung, um die Geradengleichung für [mm] $t\,$ [/mm] konkret angeben zu können. Nun weißt Du aber, dass der Graph von [mm] $t\,$ [/mm] mit dem Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] jedenfalls den Punkt $P(1|f(1))=P(1|4)$ gemeinsam haben muss, also muss [mm] $t(1)=\,f(1)=4$ [/mm] gelten.
Also:
Wir wissen nun [mm] $t(x)\,=5*x+d$ [/mm] und [mm] $4\,=5*1+d$, [/mm] und aus der letzten Gleichung folgt [mm] $d=-1\,.$ [/mm]
Somit ist
[mm] $$t(x)\,=5*x-1$$
[/mm]
die gesuchte Geradengleichung.
Und jetzt auch mal eine 'visuelle Kontrolle' (die Graphen 'ausschnittsweise'):
Hier siehst Du nochmal den Graphen von [mm] $f(x)=x^2+3x$
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nun der Graph der Funktion (Geraden) [mm] $t(x)=5x-1\,$ [/mm] (ihr hattet das so geschrieben [mm] ($t\,$ [/mm] für 'Tangente'):
[mm] $t:\;$ $y=\,5*x-1$)
[/mm]
[mm] ($\star$)
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
(Du siehst hier auch, dass 'die Gerade durch den Punkt [mm] $(0|\underbrace{-1}_{=d})$ [/mm] geht'.)
Nun siehst Du die beiden Graphen 'gemeinsam'
[Dateianhang nicht öffentlich]
P.S.:
Also nochmal zur Erinnerung:
Anstatt
[mm] $$\text{Tangente:}\;y=k*x+d$$
[/mm]
zu schreiben, bevorzuge ich es, die Funktion für die gesuchte Tangente einfach mit [mm] $t\,$ [/mm] zu bezeichnen, also bei mir steht oben einfach
[mm] $$t(x)\,=k*x+d\,.$$
[/mm]
Und nochmal zur Erinnerung:
Die roten Kurven in den letzten Bildern visualisieren den Graphen von [mm] $\red{f(x)\,=x^2+3x}\,,$ [/mm] die grünen den Graphen von [mm] $\green{t(x)=5x-1}$. [/mm]
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Di 24.03.2009 | | Autor: | freak900 |
Herzlichen Dank!!!
Also, wenn ich sage t = 5x-1 - ist das jetzt für einen beliebigen x-Wert,
1. Wieso schreibt man (laut Lösung) diese allgemeine Tangentengleichung hin, und nicht den genauen Wert für den Punkt an der (x) STelle 1 (laut Angabe)?
also: 4=5*1-1
2. Also die Tangentengleichung verstehe ich jetzt, allerdings habe ich Probleme bei der Geradengleichung "kx+d". Kann mir die jemand erklären?
Für was stehen die Werte im Koordinatensystem?
DANKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Di 24.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Herzlichen Dank!!!
bitteschön! 
> Also, wenn ich sage t = 5x-1 - ist das jetzt für einen
> beliebigen x-Wert,
>
> 1. Wieso schreibt man (laut Lösung) diese allgemeine
> Tangentengleichung hin, und nicht den genauen Wert für den
> Punkt an der (x) STelle 1 (laut Angabe)?
> also: 4=5*1-1
Du willst doch eine Funktionsgleichung angeben, die die Tangente an dem Graphen durch den Punkt $(1|f(1))$ beschreibt. Solch eine Tangente ist offensichtlich eine Gerade - hier im [mm] $\IR^2$ [/mm] - und sollte also, sofern die Tangente nicht gerade parallel zur [mm] $y\,$-Achse [/mm] liegt, mithilfe einer Geradengleichung der Form
$$x [mm] \mapsto [/mm] y=f(x)=k*x+d$$
beschrieben werden können. Und Du sollst ja die Tangente durch den Punkt $(1|f(1))$ angeben, dass diese durch den Punkt $(1|f(1))$ verläuft, ist doch offensichtlich. Das wurde ja auch bei der Bestimmtung der Tangentengleichung verwendet!
> 2. Also die Tangentengleichung verstehe ich jetzt,
> allerdings habe ich Probleme bei der Geradengleichung
> "kx+d". Kann mir die jemand erklären?
> Für was stehen die Werte im Koordinatensystem?
Das ist aber Stoff der Unterstufe. Eine Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] der Bauart
$x [mm] \mapsto [/mm] y=f(x)=mx+b$
(was Du [mm] $k\,$ [/mm] nanntest, heißt hier [mm] $m\,$ [/mm] und dein [mm] $d\,$ [/mm] ist hier mit [mm] $b\,$ [/mm] bezeichnet)
nennt man Geradengleichung (weil der Graph dieser Funktion eine Gerade im [mm] $\IR^2$ [/mm] beschreibt). Dabei heißt [mm] $m\,$ [/mm] die Steigung der Geraden und [mm] $b\,$ [/mm] ist der [mm] $y\,-$Achsenabschnitt.
[/mm]
Die Bedeutung von [mm] $b\,:$
[/mm]
Offensichtlich gilt [mm] $f(0)=b\,,$ [/mm] das bedeutet anschaulisch, dass der Graph der Funktion durch den Punkt $(0|f(0))=(0|b)$ verläuft.
Die Bedeutung von [mm] $m\,$:
[/mm]
Offensichtlich gilt für alle [mm] $x_1 \not=x_2$
[/mm]
[mm] $$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=m\,.$$
[/mm]
Mache Dir mal geometrisch klar, was das bzgl. eines Steigungsdreiecks für ein gewisses Seitenverhältnis bedeutet (falls Dir der Begriff des Steigungsdreiecks entfallen sein sollte, vgl. Wiki, Geradengleichung; eigentlich sollte der ganze Artikel auch für Dich interessant sein).
Wenn Du also [mm] $m\,$ [/mm] und [mm] $b\,$ [/mm] einer (nicht zur [mm] $y\,-$Achse [/mm] parallelen) Geraden, beschrieben durch die Geradengleichung $x [mm] \mapsto [/mm] y=f(x)=mx+b$ kennst, so kannst Du damit sofort den Graphen im [mm] $\IR^2$ [/mm] zeichnen, denn:
Du weißt nun, dass der Graph durch den Punkt $(0|b)$ läuft. Ferner kennst Du [mm] $m\,$ [/mm] und weißt somit:
Wenn ich von einem Punkt der Geraden im kartesischen Koordinatensystem [mm] $\IR^2$ [/mm] nun um $t [mm] \ge [/mm] 0$ nach rechts gehe (also von dem Punkt der Geraden ausgehend parallel zur [mm] $x\,-$Achse [/mm] um [mm] $t\,$ [/mm] nach rechts laufe), so muss ich
[mm] $\bullet$ [/mm] um [mm] $m*t\,$ [/mm] nach oben gehen, wenn $m [mm] \ge [/mm] 0$
[mm] $\bullet$ [/mm] um [mm] $m*t\,$ [/mm] nach unten gehen, wenn [mm] $m\,<0$
[/mm]
und gelange - für $t > [mm] 0\,$ [/mm] - so zu einem neuen (vom Ausgangspunkt verschiedenen) Punkt der Geraden des [mm] $\IR^2\,.$ [/mm]
(Analoges kann man auch mit 'nach links gehen' formulieren. Allerdings musst Du aufpassen, dass man dann auch um [mm] $m*t\,$ [/mm] nach unten geht, wenn $m [mm] \ge [/mm] 0$; mach' Dir das mal an einer Skizze klar.)
Durch diese beiden Punkte ist die Gerade aber eindeutig bestimmt.
Somit kannst Du auch sagen:
Für [mm] $y=f(x)=mx+b\,$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] ist der Graph eine Gerade des [mm] $\IR^2\,,$ [/mm] die eindeutig durch die beiden Punkte
$(0|b)$ und $(1|b+m)$
bestimmt ist.
Schau' Dir auch nochmal den obigen Wikilink an, damit Du das vll. nochmal alles wiederholen und verinnerlichen kannst. Oder Du arbeitest nochmal dieses Dokument durch.
Gruß,
Marcel
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