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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Mo 25.04.2005 | | Autor: | byCOCA |
Hey! Ich hätte mal eine Frage an euch bezüglich einer Aufgabe die wir bis morgen bearbeitet haben sollen.
und zwar:
Es sei f(x)= 1/4 x (hoch 3). Geben sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f an, die im Punkt P(4/f(4) den Graphen von f berührt.
Verstehe nicht wie man die Steigung der Tangente bestimmt, wenn x(hoch 3) gegeben ist.
wäre echt super lieb, wenn mir jemand helfen würde!
-lena
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo byCOCA,
auch Dir hier ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Es sei f(x)= 1/4 x (hoch 3). Geben sie die Gleichung der
> Tangente an den Graphen von f an, die im Punkt P(4/f(4)) den
> Graphen von f berührt.
Für die Tangenten-Gleichung verwenden wir einfach die Punkt-Steigungs-Form:
[mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y-y_0}{x-x_0}$ $\gdw$ $y_t(x) [/mm] \ = \ [mm] m_t*(x-x_0) [/mm] + [mm] y_0$
[/mm]
Dabei sind uns [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $y_0$ [/mm] vorgegeben mit:
[mm] $x_0 [/mm] \ = \ [mm] x_P [/mm] \ = \ 4$
[mm] $y_0 [/mm] \ = \ f [mm] \left(x_0\right) [/mm] \ = \ f(4) \ = \ [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] 4^3 [/mm] \ = \ ...$
Da die Tangente die Kurve von $f(x)$ berühren soll (sonst wäre es ja auch keine Tangente), muß an diesem Berührpunkt $P$ auch die Steigung der Kurve [mm] $K_f$ [/mm] und der Tangente übereinstimmen, sprich: gleich groß sein!
Und wie ermitteln wir nun die Steigung der Kurve im Punkt $P$ ??
Richtig: mit der 1. Ableitung $f'(x)$
Es gilt also: [mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] f'\left(x_0\right) [/mm] \ = \ f'(4) \ = \ ...$
Setzen wir das nun in unsere oben genannte Punkt-Steigungs-Form ein, erhalten wir:
[mm] $y_t(x) [/mm] \ = \ \ [mm] m_t*\left(x-x_0\right) [/mm] + [mm] y_0 [/mm] \ = \ f'(4) * (x - 4) + f(4)$
Du mußt jetzt also noch den Funktionswert $f(4)$ sowie die Ableitung $f'(x)$ mit $f'(4)$ bestimmen und dann einsetzen ...
Alle Klarheiten beseitigt?
Gruß
Loddar
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