Tangentensteigung und Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Magnia |
Hallo ich habe hier 2 Aufgaben die mir den Kopf zerbrechen :
Der Graph der Funktion f mit f(x)= ax²+bx+c schneidet die 1. Achse bei -3 und die 2. Achse bei y=-2 An der Stelle 4 hat die Tangente an den Graphen der Funktion die Steigung 1. Wie lautet die Funktion ?
Vorgehen meinerseits:
Also die Funktion schneidet die Achsen bei p1(-3/0) p2(0/-2)
An der Stelle 4 also nehme ich an x= 4 (4/y) hat die Tangente die Steigung 1
Verläuft die Sekante durch P1 p2 ?
Wie kann ich Vorgehen ?
Und das andere wäre
Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x)= 1+x-x²-x³ und g(x)=2x²-8x-1
An welcher Stelle sind die Tangenten an die Graphen parallel zueinander ?
Vorgehen meinerseits:
jeweils 2 punkte nehmen und einsetzen
dann eine Sekante durch die beiden punkte legen
und die sekantensteigung ausrechnen
aber dann weiss ich ja nur die jeweilige steigung ich muss ja wissen wann bei beiden die steigung gleich ist denn nur dann sind sie doch parallel ?
ich hoffe ihr könnt mir helfen...?
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Fugre |
Hallo Magina,
> Hallo ich habe hier 2 Aufgaben die mir den Kopf zerbrechen
> :
>
> Der Graph der Funktion f mit f(x)= ax²+bx+c schneidet die
> 1. Achse bei -3 und die 2. Achse bei y=-2 An der Stelle 4
> hat die Tangente an den Graphen der Funktion die Steigung
> 1. Wie lautet die Funktion ?
>
> Vorgehen meinerseits:
> Also die Funktion schneidet die Achsen bei p1(-3/0)
> p2(0/-2)
> An der Stelle 4 also nehme ich an x= 4 (4/y) hat die
> Tangente die Steigung 1
>
> Verläuft die Sekante durch P1 p2 ?
> Wie kann ich Vorgehen ?
Also die beiden Punkte hast du richtig ermittelt, sehr gut!
Du hast jetzt ja schon 2 der nötigen 3 Gleichungen.
Die Information von der Tangente können wir viel einfacher deuten, sie sagt aus, dass die
Punktsteigung im bei $ [mm] x_t=4 [/mm] $ 1 ist, also bildest du die 1. Ableitung und setzt ein.
Ich fasse kurz zusammen:
[mm] $f(x)=ax^2+bx+c$
[/mm]
(1) $ f(3)=9a-3b+c=0$
(2) $ f(0)=0a+0b+c=c=-2$
(3) $ f'(4)=8a+b=1$
Jetzt dürfte es keine Probleme mehr geben.
>
> Und das andere wäre
> Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x)= 1+x-x²-x³
> und g(x)=2x²-8x-1
> An welcher Stelle sind die Tangenten an die Graphen
> parallel zueinander ?
>
> Vorgehen meinerseits:
>
> jeweils 2 punkte nehmen und einsetzen
>
> dann eine Sekante durch die beiden punkte legen
> und die sekantensteigung ausrechnen
>
> aber dann weiss ich ja nur die jeweilige steigung ich muss
> ja wissen wann bei beiden die steigung gleich ist denn nur
> dann sind sie doch parallel ?
>
Wenn ich es richtig sehe, dann ist dir der Zusammenhang von Tangentensteigung und 1. Ableitung
der Funktion noch nicht ganz klar. Ich versuche es mal zu erklären. Wie du vielleicht weißt, ist gibt uns
die 1. Ableitung Auskunft über die Steigung in dem Punkt. Eine Tangente zu einem Punkt kann diesen nur
tangieren, wenn sie die gleiche Steigung hat, wie im Punkt. In anderen Fällen würde sie den Punkt
schneiden und das wollen wir ja nicht  . Tangenten haben jetzt noch die tolle Eigenschaft, dass sie
Geraden sind und ihre Steigung immer konstant ist, also in jedem Punkt der Geraden. Bei anderen
Funktionen unterscheiden sich die Punktsteigungen und entsprechen dem Funktionswert der
1. Ableitung im Punkt.
So das klang jetzt vielleicht recht kompliziert, das ist es aber nicht wie ich dir gerade an einem
Beispiel zeigen möchte.
Wir suchen den Punkt einer Funktion [mm] $p(x)=x^2$ [/mm] , in dem die Tangentensteigung 2 ist.
Gut, wenn die Tangentensteigung 2 ist, so muss auch die Steigung in dem Punkt 2 sein, also die
1. Ableitung 2 sein. $f'(x)=2x$ soll 2 sein, also [mm] $f(x_t)=2x_t=2$ [/mm] jetzt formen wir nach [mm] $x_t$ [/mm] um und
erhalten $ [mm] x_t=1$ [/mm] . Das bedeutet die x-Koordinate des tangierten Punktes ist 1, um an die y-Koordinate
zu gelangen setzen wir ihn noch in die Funktion ein und alles ist wunderbar.
Ein Hinweis für die 2. Aufgabe, die Frage könnte auch anders formuliert sein, nämlich:
Für welche x gilt $f'(x)=g'(x)$
Denn wenn die Tangenten parallel sein sollen haben sie die gleiche Steigung und das hast du ja schon
selber richtig erkannt.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein, so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
>
> ich hoffe ihr könnt mir helfen...?
> danke
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 So 21.11.2004 | | Autor: | Magnia |
hallo danke für die Antwort
Mir ist noch ein bisschen unklar wie du das mit der ersten ableitung machst ?
also die Tangentensteigung ist bei 4 = 1 wie kommst du dann bitte auf das hier
(3) f'(4)=8a+b=1 ?
hast du in ax² + bx + c einfach 4 eingesetzt ?
das wären bei mir aber 16a + 4b + c = 1 ? oder hast du
a4² + 4b +c = 1 und davon die ableitung
8a + 4= 1 wäre das bei mir
mir ist das noch unklar wieso du überhaupt die erste ableitung bildest wozu ? wärst du so nett mir da nochmal zu helfen ?
du hast es zwar unten erklärt aber
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Deine 2. Idee (wie man auf den Term f'(4)=1 kommt) ist schon fast richtig, aber darauf komm ich nachher zurück.
Also, erstmal: wöfür ist die 1. Ableitung überhaupt da?
So, wie f(x) mir y-Werte liefert (ich "schmeiß nen x-Wert rein, und bekomm nen y-Wert raus"), so ist f'(x) zuständig für Steigungen: ich schmeiß nen x-Wert rein, und bekomm diejenige Steigung raus, die die Kurve von f bei diesem x-Wert hat.
Hier ist es so: wir wissen (aus der Aufgabenstellung), dass die Steigung 1 ist an der Stelle x=4. Also muss gelten: f'(4)=1.
Bei unserer Aufgabe ist es so: [mm]f(x)=a*x^2+b*x+c[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f'(x)=2ax+b[/mm]
Also setzen wir unsere Bedingung ein: [mm]f'(4)=2*a*4+b=8a+b=1[/mm] (das letzte "=1" kommt daher, dass wir ja wissen, dass die Steigung dort =1 sein muss).
Deine Fehler in den Überlegungen:
1. In der Funktion f(x) hat der x-Wert 4 und die Steigung 1 nix zu suchen, denn f(x) hat mit der Steigung (um die's hier geht) recht wenig zu tun.
2. Ganz beliebter Fehler: du hast den x-Wert in die Funktion f(x) eingesetzt, und versuchst dann den erhaltenen Term abzuleiten. Vorsicht: sobald du nen x-Wert in f(x) einsetzt, bekommst du nen y-Wert!!! Und wenn du den ableitest, dann gibt das immer Null! Klar, ein y-Wert ist ja ne konstante Zahl, die beim Ableiten Null wird. Hier stehen zwar noch einige a in diesem y-Wert, aber das ist trotzdem ne Konstante, da die Funktion f von x abhängen soll, und nicht von a [mm]\Rightarrow[/mm] der ganze Kram mit a wird als Konstante behandelt, und verschwindet beim Ableiten.
Also nochmal kurz zusammengefasst: wenn man an einer Stelle [mm]x_0[/mm] die Steigung einer Kurve haben will, dann leitet man erst die Funktion ab, und setzt diesen x-Wert in die 1. Ableitung ein: [mm]f'(x_0)=Steigung[/mm]. Nicht erst den y-Wert einsetzen, und das dann ableiten (da käme immer Null raus).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 So 21.11.2004 | | Autor: | Magnia |
ahh jetzt verstehe ich
also habe ich dann die 3 terme
(1) f(3)=9a-3b+c=0
(2) f(0)=0a+0b+c=c=-2
(3) f'(4)=8a+b=1
die 1 kann ich ja dann mit 2 kombinieren
9a-3b-2=0
darf ich jetzt aber die abgeleitete funktion hinzuziehen ? eigentlich doch nicht oder ? weil das wäre ja der y punkt vergleich mit der tangentensteigung ?
8a+b=1 könnte ich ja /*3 nehmen
24a +3b = 3
mache das übliche verfahren
9 a - 3b-2=0
24a+3b =2
------------------------
33a-2=2 / + 2
33a = 0 / 33
a= 0
setze wieder oben ein
und b=1
dann wäre die gleichung aber 1x-2
und das kann nicht so recht hinkommen
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Die 3 Gleichungen sind so richtig, gut.
Jetzt machst du genau das, was du gesagt hast: du kombinierst die 1. und die 3. Gleichung (und setzt dabei das [mm]c=-2[/mm] ein, das die 2. Gleichung geliefert hat).
Du darfst das machen (dieses Kombinieren), auch wenn eine Gleichung zu f(x), und die andere zu f'(x) gehört.
Und jetzt Vorsicht beim Umformen: bring erstmal beide Gleichungen auf die Form, dass alles mit den Buchstaben a und b auf der linken Seite steht, und die Zahlen alle auf der rechten Seite.
Wenn du das dann nochmal durchrechnest, müsstest du (falls ich mich nicht verrechnet habe) auf einen Wert für a von [mm]a=\bruch{5}{33}[/mm] kommen. Und für b der Wert [mm]b=-\bruch{7}{33}[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 So 21.11.2004 | | Autor: | Magnia |
hallo
ich habe jetzt auch das selbe raus wie du ... hatte nen fehler gemacht
die 2te aufgabe habe ich jetzt zu den gleichungen die Ableitungen gebildet
und habe für die erste gleichung 1+x-x²-x³ = 1-2x-3x² raus
sowie für 2x² -8x-1 = 4x-8 raus
das ganze gleichgesetzt und pq formel habe ich am ende -1 und 3 raus
das sind ja die punkte an deren die Sekanten parallel sind
doch irgend wie beim einsetzen bekomme ich nicht die gleiche steigung raus irgend was läuft da noch falsch ???
wenn ich nun auch die y punkte bekommen möchte kann ich die Punkte dann ganz einfach in die normalen funktionen einsetzen sodass dann zb. für -1 der y wert..... rauskommt ???
mal ne ganz andere Frage wozu ist die ableitung der ableitung gut ? als f``
und davon wieder die ableitung f''' ???
danke für eure Hilfe ich denke ihr habt mir sehr geholfen es war auf keinem Fall umsonst ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 So 21.11.2004 | | Autor: | Vassago |
> und habe für die erste gleichung 1+x-x²-x³ = 1-2x-3x² raus
> sowie für 2x² -8x-1 = 4x-8 raus
Die Ableitungen sind schon mal korrekt.
> das ganze gleichgesetzt und pq formel habe ich am ende -1
> und 3 raus
Das ist merkwürdig, denn die richtigen Ergebnisse haben genau die entgegengesetzten Vorzeichen, sind also -3 und 1.
> das sind ja die punkte an deren die Sekanten parallel
> sind
> doch irgend wie beim einsetzen bekomme ich nicht die
> gleiche steigung raus irgend was läuft da noch falsch
> ???
Es sind nicht Sekanten, sondern Tangenten, das ist ja der ganze Witz an der Sache. Fast jede Gerade die durch einen dieser Punkte geht, ist Sekante zu der Kurve, schneidet sie also. Nur eine einzige Gerade aber ist eine Tangente in dem Punkt. Wenn du nun -3 und 1 in die Ableitungen einsetzt, siehst du, dass jeweils die gleiche Steigung rauskommt.
> wenn ich nun auch die y punkte bekommen möchte kann ich die
> Punkte dann ganz einfach in die normalen funktionen
> einsetzen sodass dann zb. für -1 der y wert..... rauskommt
Den y-Wert an den Stellen jeweils gewinnst du durch einsetzen in f(x), ja.
> mal ne ganz andere Frage wozu ist die ableitung der
> ableitung gut ? als f''
> und davon wieder die ableitung f''' ???
Mit f''(x) bestimmt man Wendepunkte, also die Stellen an denen die Kurve von einer Rechts- in eine Linkskrümmung oder umgekehrt wechselt. Außerdem kannst du über die zweite Ableitung rauskriegen, ob Extrema Minima oder Maxima sind; wenn f''(xe) > 0 ist, ist es ein Minimum, wenn f''(xe)<0 ist, ist es ein Maximum.
f'''(x) ist nur noch Nachweis für Sattelpunkte. Sattelpunkte sind Punkte in denen zwei Extrema und ein Wendepunkt zusammenfallen, also Wendepunkte mit waagerechter Tangente. Wenn f'''(x) an der Stelle ungleich null ist, ist es ein Sattelpunkt (Existenznachweis).
Ich hoffe, ich konnte helfen, und deine Neugier befriedigen *G*
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