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| Aufgabe | Berechnen Sie für folgende Funktion die ersten und zweiten partiellen Ableitungen! Geben Sie außerdem die Gleichung der Tangentialebene in [mm]\bar{x}[/mm] an.
[mm]f(x_1,x_2)=2*e^{x_1}*x_2-x_2^3[/mm],
[mm]\bar{x}=(1,e)^T[/mm] |
Also die partiellen Ableitungen müssten so lauten:
1. Ordnung:
[mm]f_{x_1} (x_1,x_2)=2e^{x_1}[/mm]
[mm]f_{x_2} (x_1,x_2)=2e^{x_1}-3x_2^2[/mm]
2. Ordnung
[mm]f_{x_1 x_1} (x_1,x_2)=2e^{x_1}*x_2[/mm]
[mm]f_{x_1 x_2} (x_1,x_2)=2e^{x_1}[/mm]
[mm]f_{x_2 x_1} (x_1,x_2)=2e^{x_1}[/mm]
[mm]f_{x_2 x_2} (x_1,x_2)=-6x_2[/mm]
So nun zur Tangentialebene.
Die Gleichung der Tangentialebene ist allgemein definiert durch die Gleichung: [mm]z-z_0=f_{x_1} (x_1,x_2)*(x_1-x_0)+f_{x_2} (x_1,x_2)*(x_2-x_0)[/mm]
also habe ich mal [mm]\bar{x}=(1,e)^T[/mm] in meine partiellen Ableitungen erster Ordnung eingesetzt:
[mm]f_{x_1} (1,e)=2e^{1}*e=2e^2[/mm]
[mm]f_{x_2} (1,e)=2e^{1}-3e^2[/mm]
Das Ganze habe ich dann in die Gleichung der Tangentialebene eingesetzt:
[mm]z-z_0=2e^2*(x_1-1)+2e^{1}-3e^2*(x_2-e)[/mm]
Meine Fragen:
Sind die Rechnungen soweit richtig?
Wie rechne ich nun weiter?
Könnte mir mal jmand die Funktion plotten (also Ausgangsgleichung und Tangentialebene)?
Bin für jede Hilfe dankbar.
Mfg Markus
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Hallo Markus,
> [mm]f(x_1,x_2)=2*e^{x_1}-x_2^3[/mm],
> [mm]\bar{x}=(1,e)^T[/mm]
> Also die partiellen Ableitungen müssten so lauten:
>
> 1. Ordnung:
>
> [mm]f_{x_1} (x_1,x_2)=2e^{x_1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]f_{x_2} (x_1,x_2)=2e^{x_1}-3x_2^2[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] f_{x_2} (x_1,x_2)=-3x_2^2
[/mm]
>
> 2. Ordnung
>
> [mm]f_{x_1 x_1} (x_1,x_2)=2e^{x_1}*x_2[/mm]
[mm] ..=2e^{x_1}
[/mm]
> [mm]f_{x_1 x_2} (x_1,x_2)=2e^{x_1}[/mm]
..=0
>
> [mm]f_{x_2 x_1} (x_1,x_2)=2e^{x_1}[/mm]
..=0
> [mm]f_{x_2 x_2} (x_1,x_2)=-6x_2[/mm]
>
> So nun zur Tangentialebene.
>
> Die Gleichung der Tangentialebene ist allgemein definiert
> durch die Gleichung: [mm]z-z_0=f_{x_1} (x_1,x_2)*(x_1-x_0)+f_{x_2} (x_1,x_2)*(x_2-x_0)[/mm]
>
> also habe ich mal [mm]\bar{x}=(1,e)^T[/mm] in meine partiellen
> Ableitungen erster Ordnung eingesetzt:
>
> [mm]f_{x_1} (1,e)=2e^{1}*e=2e^2[/mm]
> [mm]f_{x_2} (1,e)=2e^{1}-3e^2[/mm]
>
> Das Ganze habe ich dann in die Gleichung der
> Tangentialebene eingesetzt:
>
> [mm]z-z_0=2e^2*(x_1-1)+2e^{1}-3e^2*(x_2-e)[/mm]
Das kann augrund der falschen partiellen Ableitung nach [mm] x_2 [/mm] nicht stimmen
Berechne mal neu: [mm] $z=f(1,e)+f_{x_1}(1,e)(x_1-1)+f_{x_2}(1,e)(x_2-e)$
[/mm]
Ich erhalte: [mm] $z=2ex_1-3e^2x_2+2e^3$
[/mm]
Aber ohne Gewähr 
> Meine Fragen:
>
> Sind die Rechnungen soweit richtig?
wofür hast du die partiellen Ableitungen 2.Ordnung gemacht?
> Wie rechne ich nun weiter?
> Könnte mir mal jmand die Funktion plotten (also
> Ausgangsgleichung und Tangentialebene)?
>
> Bin für jede Hilfe dankbar.
> Mfg Markus
Schau mal hier rein :
http://hschaefer.fto.de/hm2/node17.html
Im Anhang mal der plot mit Winfunktion, man kann aber nicht allzu viel erkennen :(
LG
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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oh ganz dickes sry...ich hab in der aufgabenstellung nen fehler drin gehabt.
ich habs jetzt korrigiert.
wäre cool,wenn du nochmal drüber schauen könntest.
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Hallo Markus!
> 1. Ordnung:
>
> [mm]f_{x_1} (x_1,x_2)=2e^{x_1}[/mm]
Hier hat sich noch der Faktor [mm] $*x_2$ [/mm] "verkrümelt" ...
> [mm]f_{x_2} (x_1,x_2)=2e^{x_1}-3x_2^2[/mm]
> 2. Ordnung
>
> [mm]f_{x_1 x_1} (x_1,x_2)=2e^{x_1}*x_2[/mm]
> [mm]f_{x_1 x_2} (x_1,x_2)=2e^{x_1}[/mm]
>
> [mm]f_{x_2 x_1} (x_1,x_2)=2e^{x_1}[/mm]
> [mm]f_{x_2 x_2} (x_1,x_2)=-6x_2[/mm]
> So nun zur Tangentialebene.
>
> Die Gleichung der Tangentialebene ist allgemein definiert
> durch die Gleichung: [mm]z-z_0=f_{x_1} (x_1,x_2)*(x_1-x_0)+f_{x_2} (x_1,x_2)*(x_2-x_0)[/mm]
>
> also habe ich mal [mm]\bar{x}=(1,e)^T[/mm] in meine partiellen
> Ableitungen erster Ordnung eingesetzt:
>
> [mm]f_{x_1} (1,e)=2e^{1}*e=2e^2[/mm]
> [mm]f_{x_2} (1,e)=2e^{1}-3e^2[/mm]
> Das Ganze habe ich dann in die Gleichung der
> Tangentialebene eingesetzt:
>
> [mm]z-z_0=2e^2*(x_1-1)+2e^{1}-3e^2*(x_2-e)[/mm]
Hier musst Du nun noch [mm] $z_0 [/mm] \ = \ f(1,e) \ = \ ...$ einsetzen und anschließend die Ebenengleichung in die Form $a*x+b*y+c*z \ = \ d$ umstellen.
Gruß vom
Roadrunner
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danke für die antwort
ja das mit [mm]x_2[/mm] war ein schreibfehler. schlicht und einfach vergessen, obwohl ichs hier in meinen Rechnngen mit drin hab.
aber zur ebenengleichung:
für [mm]z_0[/mm] habe ich dann raus [mm]z_0=f(1,e)=2*e^{2}-e^{3}[/mm]
das ganze habe ich dann wie sagtest in die gleichung eingesetzt:
also: [mm]z-2*e^{2}-e^{3}=2e^{2}*(x_1-1)+2e-3e^{2}*(x_2-e)[/mm]
dann habe ich wild umgeformt und zusammengefasst (bitte net übel nehmen wenn ich nicht jeden schritt einzeln aufschreibe) und bin dann auf folgendes gekommen:
[mm]z=2e^{2}x_1+(2e-3e^{2})x_2-2e^{2}+3e^{3}[/mm]
das ist nun logischerweise noch nicht die Ebenengleichung in Koordinatenform. wie muss ich das ganze umstellen damit ich eben diese Form erhalte? ich komm irgendwie nicht drauf...
aso und wie lässt sich [mm]z_0[/mm] geometrisch interpretieren?
mfg markus
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Hallo Markus!
Den Wert $z_$ kannst Du auch ersetzen durch [mm] $x_3$ [/mm] , damit hast Du dann alle 3 Koordinatenrichtungen gegeben.
> für [mm]z_0[/mm] habe ich dann raus [mm]z_0=f(1,e)=2*e^{2}-e^{3}[/mm]
> das ganze habe ich dann wie sagtest in die gleichung
> eingesetzt:
>
> also: [mm]z-2*e^{2}-e^{3}=2e^{2}*(x_1-1)+2e-3e^{2}*(x_2-e)[/mm]
Achtung: Klammern nicht vergessen!
[mm] $$z-\red{\left(}2e^{2}-e^{3}\red{\right)} [/mm] \ = \ [mm] 2e^{2}*(x_1-1)+\red{\left(}2e-3e^{2}\red{\right)}*(x_2-e)$$
[/mm]
> das ist nun logischerweise noch nicht die Ebenengleichung
> in Koordinatenform. wie muss ich das ganze umstellen damit
> ich eben diese Form erhalte? ich komm irgendwie nicht
> drauf...
Klammern ausmultiplizieren, zusammenfassen und sortieren.
Gruß vom
Roadrunner
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