Tangentialebene Volumen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | $ [mm] f(x,y)=\wurzel{1-x^2-y^2}. [/mm] $
$ [mm] S=\{(x,y):x^2+y^2<1, x,y>0\} [/mm] $
Man ermittle die Tangentialebene (Taylorpolynom erster Ordnung) an den Graphen von f über dem
Punkte $ (a, [mm] b)\in [/mm] S $.
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| Aufgabe 2 | Die Schnittpunkte der Koordinatenachsen mit einer solchen Tangentialebene bilden zusammen mit dem Nullpunkt die Ecken eines Tetraeders.
Man bestimme $ (a, [mm] b)\in [/mm] S $ so, dass das so erzeugte Tetraeder minimales Volumen besitzt. |
Tangentialebene habe ich berechnet und erhalte:
$ [mm] f(a,b)+f_{x}(a,b)(x-a)+ f_{y}(a,b)(y-b)=\wurzel{1-a^2-b^2}+ \bruch{-a}{\wurzel{1-a^2-b^2}}\cdot{}(x-a)+ \bruch{-b}{\wurzel{1-a^2-b^2}}\cdot{}(y-b)=z [/mm] $
Aber wie gehts dann weiter. Schnittpunkte habe ich
A $ [mm] (0,0,\bruch{1}{\wurzel{1-a^2-b^2}}) [/mm] $
B $ [mm] (0,\bruch{1-by}{\wurzel{1-a^2-b^2}},0) [/mm] $
C $ [mm] (\bruch{1-ax}{\wurzel{1-a^2-b^2}},0,0) [/mm] $
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Do 27.05.2010 | | Autor: | abakus |
> [mm]f(x,y)=\wurzel{1-x^2-y^2}.[/mm]
> [mm]S=\{(x,y):x^2+y^2<1, x,y>0\}[/mm]
> Man ermittle die
> Tangentialebene (Taylorpolynom erster Ordnung) an den
> Graphen von f über dem
> Punkte [mm](a, b)\in S [/mm].
>
> Die Schnittpunkte der Koordinatenachsen mit einer solchen
> Tangentialebene bilden zusammen mit dem Nullpunkt die Ecken
> eines Tetraeders.
> Man bestimme [mm](a, b)\in S[/mm] so, dass das so erzeugte
> Tetraeder minimales Volumen besitzt.
> Tangentialebene habe ich berechnet und erhalte:
> [mm]f(a,b)+f_{x}(a,b)(x-a)+ f_{y}(a,b)(y-b)=\wurzel{1-a^2-b^2}+ \bruch{-a}{\wurzel{1-a^2-b^2}}\cdot{}(x-a)+ \bruch{-b}{\wurzel{1-a^2-b^2}}\cdot{}(y-b)=z[/mm]
>
> Aber wie gehts dann weiter. Schnittpunkte habe ich
> A [mm](0,0,\bruch{1}{\wurzel{1-a^2-b^2}})[/mm]
> B [mm](0,\bruch{1-by}{\wurzel{1-a^2-b^2}},0)[/mm]
> C [mm](\bruch{1-ax}{\wurzel{1-a^2-b^2}},0,0)[/mm]
>
> Danke
Hallo,
für das Volumen eines Tetraeders gilt [mm] V=\bruch{1}{3}A_G*h [/mm] .
Du könntest z.B. BCO als Grundfläche verwenden.
Gruß Abakus
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| Aufgabe | | Wie löse ich es mit dem minimalen Volumen |
Ist der Ansatz den so richtig. Wäre natürlich super, wenn jemand meine Schnittpunkte überprüfen könnte. Tangentialebene bin ich mir sicher dass es richtig ist.
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Hallo martinmax1234,
> Wie löse ich es mit dem minimalen Volumen
> Ist der Ansatz den so richtig. Wäre natürlich super,
> wenn jemand meine Schnittpunkte überprüfen könnte.
> Tangentialebene bin ich mir sicher dass es richtig ist.
Die Schnittpunkte B und C musst nochmal nachrechnen.
Der Schnittpunkt A hingegen stimmt.
Gruss
MathePower
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Ich komme immer wieder auf mein Ergebnis. Kann mir mal einer zeigen, wie ich es richtig machen für mein A oder B. Wäre richtig gut.
Was mache ich dann wenn ich A,B und C habe. Wie mache ich es mit dem minimalen Volumen.
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Hallo martinmax1234,
> Ich komme immer wieder auf mein Ergebnis. Kann mir mal
> einer zeigen, wie ich es richtig machen für mein A oder B.
> Wäre richtig gut.
Nun, die mittlere Koordinate Deines errechneten B ist verantwortlich
für den Schnittpunkt mit der y-Achse.
Die erste Koordinate Deines errechneten C ist verantwortlich
für den Schnittpunkt mit der x-Achse.
>
> Was mache ich dann wenn ich A,B und C habe. Wie mache ich
> es mit dem minimalen Volumen.
Wie abakus schon andeutete, wählst Du Dir eine Grundfläche.
Ist die Grundfläche beispielsweise das Dreieck ABC, dann
fehlt Dir noch die Höhe des Tetraeders, d.h. der Abstand der
Grundfläche zum Ursprung.
Das alles packst Du dann in eine Formel,
und bestimmst von dieser die Extrema.
Gruss
MathePower
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Das habe ich soweit verstanden.
Aber wie mache ich das? Zum Bsp. mein B, dass ist der schnittpunkt mit der y-Koordinate. Also setze ich x=0 in die Tangentialebene ein und erhalte so den oben, aber falschen errechneten Punkt.
Bitte um einen ausführlichen Lösungsansatz vielen dank
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Habe nocmals versuch die Schnittpunkte auszrechnen:
$ (0,\bruch{1}{b+\wurzel{1-a^2-b^2}},0) $
und
$ (\bruch{1}{a+\wurzel{1-a^2-b^2}},0,0}) $
kann das jetzt richig sein??? Mein UNI Kollege hat andere Punkte raus und zwar.
(1/a,0,0) und (0,1/b,0)
ich möchte an dieser Stelle keine Lösung vorgerechnet haben nur ein Tipp wie man das überhaupt mit den Schnittpunkten ausrechnet. Dachte sonst immer es geht wie folgt:
Um z auszurechnen setzte ich x=y=0
Um x zu erhalten z=y=0 und in die Tangentialebene einsetzten.
Danke
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Hallo martinmax1234,
> Habe nocmals versuch die Schnittpunkte auszrechnen:
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> [mm](0,\bruch{1}{b+\wurzel{1-a^2-b^2}},0)[/mm]
> und
> [mm](\bruch{1}{a+\wurzel{1-a^2-b^2}},0,0})[/mm]
>
> kann das jetzt richig sein??? Mein UNI Kollege hat andere
> Punkte raus und zwar.
> (1/a,0,0) und (0,1/b,0)
Dein Uni-Kollege hat die richtigen Schnittpunkte heraus.
>
> ich möchte an dieser Stelle keine Lösung vorgerechnet
> haben nur ein Tipp wie man das überhaupt mit den
> Schnittpunkten ausrechnet. Dachte sonst immer es geht wie
> folgt:
> Um z auszurechnen setzte ich x=y=0
> Um x zu erhalten z=y=0 und in die Tangentialebene
> einsetzten.
Das ist auch richtig.
Vielleicht ist Dir irgendwo unterwegs ein kleiner Fehler passiert.
Um das herauszufinden, poste doch Deinen bisherigen Rechenschritte.
>
> Danke
Gruss
MathePower
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Meine Tangentialebene ist ja
$ [mm] f(a,b)+f_{x}(a,b)(x-a)+ f_{y}(a,b)(y-b)=\wurzel{1-a^2-b^2}+ \bruch{-a}{\wurzel{1-a^2-b^2}}\cdot{}(x-a)+ \bruch{-b}{\wurzel{1-a^2-b^2}}\cdot{}(y-b) [/mm] $
Für x=y=0 erhalte ich für z den schnittpunkt $ [mm] (0,0,\bruch{1}{\wurzel{1-a^2-b^2}}) [/mm] $
Wenn ich Z=Y=0 setzte erhalte ich für x:
[mm] \wurzel{1-a^2-b^2}+ \bruch{-a}{\wurzel{1-a^2-b^2}}\cdot{}(x-a)+ \bruch{-b}{\wurzel{1-a^2-b^2}}\cdot{}(0-b) [/mm] $
und komme nich auf den richtigen schnittpunkt.
danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Fr 28.05.2010 | | Autor: | abakus |
> Meine Tangentialebene ist ja
> [mm]f(a,b)+f_{x}(a,b)(x-a)+ f_{y}(a,b)(y-b)=\wurzel{1-a^2-b^2}+ \bruch{-a}{\wurzel{1-a^2-b^2}}\cdot{}(x-a)+ \bruch{-b}{\wurzel{1-a^2-b^2}}\cdot{}(y-b)[/mm]
Hallo,
macht es dich nicht nachdenklich, dass in dieser Ebenengleichung überhaupt kein z vorhanden ist?
>
> Für x=y=0 erhalte ich für z den schnittpunkt
> [mm](0,0,\bruch{1}{\wurzel{1-a^2-b^2}})[/mm]
>
> Wenn ich Z=Y=0 setzte erhalte ich für x:
> [mm]\wurzel{1-a^2-b^2}+ \bruch{-a}{\wurzel{1-a^2-b^2}}\cdot{}(x-a)+ \bruch{-b}{\wurzel{1-a^2-b^2}}\cdot{}(0-b)[/mm]
> $
>
> und komme nich auf den richtigen schnittpunkt.
>
> danke
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Ist den nicht die komplette ebenegleichung mein z ????
Trotzdem weiß ich nicht wei ich es ausrechnen soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Fr 28.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein f(x,y) ist ne fkt in 2 d. in 3d ist das ein sehr einfaches Gebirge.
eine ebenengl hat die Form Ax+By+Cz=D
bring die ebene in die Form, dann siehst du sofort den Schnittpkt mit der x Achse [mm] x_s=D/A [/mm] usw.
Gruss leduart
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