Tangentialebene an Kreis < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen sie die Tangentialebene an die Funktion [mm] U(x,y,z)=\bruch {1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} [/mm] im Punkt P. Sie dürfen für den Punkt P auch konkrete Zahlenwerte einsetzen. |
Ich habe ja die Funktion [mm] U(x,y,z)=\bruch {1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
[/mm]
Um die Tangentialeben zu bestimmen, muss ich ja
[mm] z=\bruch {1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} [/mm] nach z auflösen. Leider will mir das nicht so recht gelingen. Kann mir da jemand helfen?
Meine ersten Schritte sind [mm] *\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
[/mm]
=> [mm] z*\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=1
[/mm]
quadriert man nun und teilt durch [mm] z^{2}, [/mm] dann erhält man
[mm] x^{2}+y^{2}+z^{2}=\bruch {1}{z^{2}} [/mm]
Nun [mm] -z^{2}
[/mm]
=> [mm] x^{2}+y^{2}=\bruch {1}{z^{2}} [/mm] - [mm] z^{2}
[/mm]
Ab hier komme ich nicht mehr weiter. Wäre nett, wenn mir jamend helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo snp_Drake,
warum multiplizierst du mit der Wurzel, wenn du im übernächsten Schritt wieder durch z teilst?
Bring einfach alles auf eine Seite, zwischendurch ausmultiplizieren und dann steht da folgendes:
[mm] $z^4+(x^2+y^2)*z^2-1=0$
[/mm]
Sieht nach Substitution aus.
Gruß
SLartibartfast
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Ok, wenn ich jetzt [mm] z^{2} [/mm] durch a ersetze, dann steht da
[mm] a^{2}+(x^{2}+y{2})*a-1=0
[/mm]
Durch die pq-Formel ergibt sich dann:
[mm] a_{1,2}=-\bruch{x^{2}+y^{2}}{2}*\wurzel{\bruch{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}+1}
[/mm]
Um jetzt die Tangentialeben zu errechnen, berechne ich dann ja
[mm] z=U(x_{0},y_{0})+U'(x_{0},y_{o})*\vektor{x-x_{0}\\y-y_{0}}
[/mm]
Ist hierbei denn jetzt U(x,y)=z also gleich dem, was ich oben errechnet habe? Dann müsste U'(x,y) ja gleich [mm] (\bruch{dz}{dx},\bruch{dz}{dy}) [/mm] sein.
Und wie komme ich von der oben genannten pq-Formel auf mein z?
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Hallo snp_Drake,
> Ok, wenn ich jetzt [mm]z^{2}[/mm] durch a ersetze, dann steht da
>
> [mm]a^{2}+(x^{2}+y{2})*a-1=0[/mm]
>
> Durch die pq-Formel ergibt sich dann:
>
> [mm]a_{1,2}=-\bruch{x^{2}+y^{2}}{2}*\wurzel{\bruch{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}+1}[/mm]
>
> Um jetzt die Tangentialeben zu errechnen, berechne ich dann
> ja
>
> [mm]z=U(x_{0},y_{0})+U'(x_{0},y_{o})*\vektor{x-x_{0}\\y-y_{0}}[/mm]
>
> Ist hierbei denn jetzt U(x,y)=z also gleich dem, was ich
> oben errechnet habe? Dann müsste U'(x,y) ja gleich
> [mm](\bruch{dz}{dx},\bruch{dz}{dy})[/mm] sein.
>
> Und wie komme ich von der oben genannten pq-Formel auf mein
> z?
Da
[mm]U\left(x,y,z\right)=\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}[/mm]
eine Funktion von 3 Variablen ist, bewegen wir uns hier im 4-dimensionaler Raum.
Für die Tangentialebene gibt es außerdem eine feste Formel.
Näheres siehe Aufgabenstellung klargestellt von Al-Chwarizmi.
Gruß
MathePower
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> Bestimmen sie die Tangentialebene an die Funktion
> [mm]U(x,y,z)=\bruch {1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}[/mm] im Punkt P.
> Sie dürfen für den Punkt P auch konkrete Zahlenwerte
> einsetzen.
> Ich habe ja die Funktion [mm]U(x,y,z)=\bruch {1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}[/mm]
>
> Um die Tangentialeben zu bestimmen, muss ich ja
>
> [mm]z=\bruch {1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}[/mm] nach z auflösen. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
letzteres ist wohl falsch (Vermengung von z und U)
> Leider will mir das nicht so recht gelingen. Kann mir da
> jemand helfen?
So wie die Aufgabe formuliert ist, handelt es sich
bei U(x,y,z) um eine Funktion [mm] U:\IR^3\to\IR
[/mm]
Der "Graph" einer solchen Funktion wäre eine
dreidimensionale gekrümmte "Hyperfläche" im
vierdimensionalen Raum [mm] \IR^4. [/mm] Eine "Tangential-
ebene" davon wäre eine dreidimensionale
Hyperebene im [mm] \IR^4.
[/mm]
War das so gemeint ? Ich glaube eher nicht !
Um die Aufgabe so, wie sie (sehr wahrscheinlich)
gemeint war, korrekt wiederzugeben, müsste man
sie etwa so formulieren:
| Aufgabe | Bestimmen sie die Tangentialebene an die Fläche
mit der Gleichung
[mm]\bruch {1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\ =\ U[/mm] (U =const.)
in einem ihrer Punkte P(x,y,z). |
Jetzt kannst du die Gleichung umformen und,
wenn nötig, nach z auflösen (2 Lösungen !)
und mittels geeigneter Ableitungen zur Gleichung
der Tangentialebene kommen (dabei handelt es
sich nun jeweils um eine "gewöhnliche" Ebene
im Raum [mm] \IR^3).
[/mm]
LG al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 So 23.11.2008 | | Autor: | snp_Drake |
Ja, so ist die Aufgabenstellung natürlich gemeint, tut mir leid, dass ich das so ungenau beschrieben habe.
Wenn ich den Kreis mit dem Radius 1 betrachte, dann folgt:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=1
[/mm]
umgestellt nach z ist die Gleichung jetzt also:
[mm] z=\wurzel{1-x^{2}-y{2}}
[/mm]
Nun meine eigentliche Frage (hab das Prinzip der Tangentialebene noch nicht so ganz verstanden). Die Formel der Tangentialebene ist ja
[mm] z=f(x_{0},y_{0})+f'(x_{0},y_{0})*\vektor{x-x_{0}\\y-y_{0}}
[/mm]
setze ich jetzt hier für f(x,y)=z einsetzen, oder warum habe ich oben nach z aufgelöst?
Der Kreis mit dem Radius 1 beinhaltet ja beispielsweise den Punkt [mm] P=(\bruch{1}{\wurzel{3}},\bruch{1}{\wurzel{3}},\bruch{1}{\wurzel{3}})
[/mm]
Wenn wir das jetzt in die Formel einsetzen ist
[mm] Z(\bruch{1}{\wurzel{3}},\bruch{1}{\wurzel{3}})=\bruch{1}{\wurzel{3}}
[/mm]
Die Ableitungen sind dann
[mm] Z_{x}'(x,y)=\bruch{-x}{\wurzel{1-x^{2}-y^{2}}} [/mm] und
[mm] Z_{y}'(x,y)=\bruch{-y}{\wurzel{1-x^{2}-y^{2}}}
[/mm]
[mm] Z_{x}'(\bruch{1}{\wurzel{3}}, \bruch{1}{\wurzel{3}})=-1
[/mm]
[mm] Z_{y}'(\bruch{1}{\wurzel{3}}, \bruch{1}{\wurzel{3}})=-1
[/mm]
in die obige Formel eingesetzt (wenn man das einfach so machen kann, also z=f(x,y) zu setzen) ergibt das
[mm] z=\bruch{1}{\wurzel{3}}+(-1, -1)*\vektor{x-\bruch{1}{\wurzel{3}}\\y-\bruch{1}{\wurzel{3}}}
[/mm]
=> z=1-x-y müsste dann also die Tangentialebene sein, oder sehe ich das falsch?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 So 23.11.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo snp_Drake,
> Ja, so ist die Aufgabenstellung natürlich gemeint, tut mir
> leid, dass ich das so ungenau beschrieben habe.
>
> Wenn ich den Kreis mit dem Radius 1 betrachte, dann folgt:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=1[/mm]
>
> umgestellt nach z ist die Gleichung jetzt also:
>
> [mm]z=\wurzel{1-x^{2}-y{2}}[/mm]
>
> Nun meine eigentliche Frage (hab das Prinzip der
> Tangentialebene noch nicht so ganz verstanden). Die Formel
> der Tangentialebene ist ja
>
> [mm]z=f(x_{0},y_{0})+f'(x_{0},y_{0})*\vektor{x-x_{0}\\y-y_{0}}[/mm]
>
> setze ich jetzt hier für f(x,y)=z einsetzen, oder warum
> habe ich oben nach z aufgelöst?
>
> Der Kreis mit dem Radius 1 beinhaltet ja beispielsweise den
> Punkt
> [mm]P=(\bruch{1}{\wurzel{3}},\bruch{1}{\wurzel{3}},\bruch{1}{\wurzel{3}})[/mm]
>
> Wenn wir das jetzt in die Formel einsetzen ist
>
> [mm]Z(\bruch{1}{\wurzel{3}},\bruch{1}{\wurzel{3}})=\bruch{1}{\wurzel{3}}[/mm]
>
> Die Ableitungen sind dann
> [mm]Z_{x}'(x,y)=\bruch{-x}{\wurzel{1-x^{2}-y^{2}}}[/mm] und
> [mm]Z_{y}'(x,y)=\bruch{-y}{\wurzel{1-x^{2}-y^{2}}}[/mm]
>
> [mm]Z_{x}'(\bruch{1}{\wurzel{3}}, \bruch{1}{\wurzel{3}})=-1[/mm]
>
> [mm]Z_{y}'(\bruch{1}{\wurzel{3}}, \bruch{1}{\wurzel{3}})=-1[/mm]
>
> in die obige Formel eingesetzt (wenn man das einfach so
> machen kann, also z=f(x,y) zu setzen) ergibt das
>
> [mm]z=\bruch{1}{\wurzel{3}}+(-1, -1)*\vektor{x-\bruch{1}{\wurzel{3}}\\y-\bruch{1}{\wurzel{3}}}[/mm]
>
> => z=1-x-y müsste dann also die Tangentialebene sein, oder
> sehe ich das falsch?
Korrekt lautet die Tangentialebene:
[mm]z=\wurzel{3}-x-y[/mm]
Gruß
MathePower
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allgemein betrachtet:
Fläche $\ [mm] F:\quad x^2+y^2+z^2=\bruch{1}{U^2}$
[/mm]
(F ist eine Kugelfläche mit Mittelpunkt
O(0/0/0) und Radius [mm] r=\bruch{1}{U})
[/mm]
Die Tangentialebene T im Punkt [mm] P_0(x_0/y_0/z_0) [/mm]
der Fläche F hat die Gleichung
$\ [mm] T:\quad x_0*x+y_0*y+z_0*z=\bruch{1}{U^2}$
[/mm]
In deinem Beispiel mit U=1 und [mm] x_0=y_0=z_0=\bruch{1}{\wurzel{3}}
[/mm]
wäre dies:
$\ [mm] T:\quad \bruch{1}{\wurzel{3}}*x+\bruch{1}{\wurzel{3}}*y+\bruch{1}{\wurzel{3}}*z=\bruch{1}{1^2}$
[/mm]
oder:
$\ [mm] T:\quad [/mm] x+y+z\ =\ [mm] \wurzel{3}$
[/mm]
Nach z aufgelöst:
$\ [mm] T:\quad [/mm] z\ =\ [mm] \wurzel{3}-x-y$
[/mm]
(siehe auch die Lösung von MathePower !)
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:08 Mo 24.11.2008 | | Autor: | snp_Drake |
Vielen Dank für eure Hilfe, jetzt sind meine Fragen beantwortet.
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