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Servus,
die Aufgabe ist Gegeben: sei die Funktion f : R²-> R : (x, y) |=> f(x, y) = y- 5arctan(y) + x²-2x + 1.
a) Ermitteln Sie die Tangentialebene an f im Punkt (0, 0, 1).
Wie geht das allgemein ?Ich muss grad g(x,y,z) bilden ?(die Z-Komponente brauche ich wegem dem Punkt P in dem sie auftritt, sonst reicht grad g(x,y) ,richtig ? )
Warum setzt man g(x,y,z): =f(x,y)-z=0 <- vorallem warum -z und dann = 0 ?
dann berechnet man grad [mm] g(x,y)=\vektor{2x -2\\ 1-\bruch{5}{y²+1}\\ -1} [/mm] ok die ,, -1" kommt von dem -z, von dem ich nicht weiß warum es existiert..
dann setzt man g(0,0,f(0,0) <-? = [mm] (-2,4-1)^T [/mm] (Normalenvektor der Tangentialebene)
schließlich grad g(0,0,1)*(x-0, y-0, z- [mm] f(0,0))^T= [/mm] 0 ?? woher kommt das jetzt hm
und bekommt die E: -2x-4y-z+1=0
für Tipps im Allgemeinen für solche Aufgaben und/oder Antwort auf meine Fragen,
Danke (für deine Zeit )
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Hi,
> Servus,
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> die Aufgabe ist Gegeben: sei die Funktion f : R²-> R : (x,
> y) |=> f(x, y) = y- 5arctan(y) + x²-2x + 1.
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> a) Ermitteln Sie die Tangentialebene an f im Punkt (0, 0,
> 1).
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> Wie geht das allgemein ?Ich muss grad g(x,y,z) bilden ?(die
> Z-Komponente brauche ich wegem dem Punkt P in dem sie
> auftritt, sonst reicht grad g(x,y) ,richtig ? )
du meinst $f(x,y)$, oder? ich denke, du kannst die T-ebene sowohl aus f selbst als auch aus der hilfsfunktion g bestimmen. letzteres ist aber anschaulicher.
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> Warum setzt man g(x,y,z): =f(x,y)-z=0 <- vorallem warum -z
> und dann = 0 ?
durch die funktion $z=f(x,y)$ ist ja eine flaeche definiert, als graph ueber der x-y-ebene. die gleiche flaeche kann man auch als niveau-flaeche einer 3-dim. fkt. $g$ darstellen, dh. die flaeche ist gleich [mm] $g^{-1}(0)$.
[/mm]
setzt man nun $g(x,y,z)=f(x,y)-z$ so ist g gleich null genau fuer die punkte auf der flaeche. d.h. aber dass die normale an die flaeche als gradient von g gegeben ist.
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> dann berechnet man grad [mm]g(x,y)=\vektor{2x -2\\ 1-\bruch{5}{y²+1}\\ -1}[/mm]
> ok die ,, -1" kommt von dem -z, von dem ich nicht weiß
> warum es existiert..
richtig, es ist [mm] $\nabla [/mm] g(x,y,z)$.
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> dann setzt man g(0,0,f(0,0) <-? = [mm](-2,4-1)^T[/mm]
> (Normalenvektor der Tangentialebene)
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> schließlich grad g(0,0,1)*(x-0, y-0, z- [mm]f(0,0))^T=[/mm] 0 ??
> woher kommt das jetzt hm
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> und bekommt die E: -2x-4y-z+1=0
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der letzte schritt ist eigentlich schon aus der schule bekannt, und nannte sich dort (wenn ich mich richtig erinnere ) hess-sche normalform einer ebene. durch den normalenvektor sind schon die koeffizienten der ebenen-gleichung gegeben. die additive konstante (hier $+1$ erhaeltst du einfach durch einsetzen eines punktes (hier $(0,0,1)$.
gruss
matthias
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