Tangentialebene vom Torus < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man gebe für die folgende Fläche die Tangentialebene an die Fläche in dem zu den Parameterwerten [mm] u=u_{0} [/mm] und [mm] v=v_{0} [/mm] gehörenden Flächenpunkt [mm] P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) [/mm] an.
Hinweis: Man ermittle zunächst einen Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vec{r_{u}} [/mm] x [mm] \vec{r_{v}} [/mm] zur Fläche im Punkt [mm] P_{0} [/mm] als Vektorprodukt der Tangentenvektoren [mm] \vec{r_{u}} [/mm] und [mm] \vec{r_{v}}.
[/mm]
x = x(u,v)= [mm] (R_{1}+R_{2}\*cos(u))\*cos(v)
[/mm]
y = y(u,v)= [mm] (R_{1}+R_{2}\*cos(u))\*sin(v)
[/mm]
z = z(u,v)= [mm] R_{2}\*sin(u)
[/mm]
[mm] R_{1}>R_{2}>0 [/mm] (Torus) , [mm] u_{0}= \bruch{ \pi}{3} [/mm] , [mm] v_{0} =\bruch{ \pi}{2}
[/mm]
Lösung dafür ist:
TE: [mm] y+3\*z-R_{1}-2\*R_{2} [/mm] = 0 |
Durch Einsetzen von u und v komme ich auf den Punkt P (0; [mm] R_{1}+ \bruch{R_{2}}{2}; \bruch{\wurzel{3}}{2}\*R [/mm] _{2})
Nun kann ich aber mit den Tangentenvektoren [mm] \vec{r_{u}} [/mm] und [mm] \vec{r_{v}}nichts [/mm] anfangen. Wie komme ich auf diese bzw. was bedeuten sie?
Für einen Ansatz in dieser Richtung wäre ich dankbar
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> Nun kann ich aber mit den Tangentenvektoren [mm]\vec{r_{u}}[/mm]
> und [mm]\vec{r_{v}}[/mm] nichts anfangen. Wie komme ich auf diese
> bzw. was bedeuten sie?
Partielle Ableitungen von $r = (x,y,z)$ bzw. $r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))$
Überlege dazu vielleicht auch die Analogie zum Fall wenn du eine Tangente an eine parametrisierte Kurve (in der Ebene oder im Raum) berechnest.
Aufgabe: Finde eine Tangente an die Ellipse $x(t) = a [mm] \cos(t)$ [/mm] $y(t) = [mm] b\sin(t)$ [/mm] im Punkt [mm] $(x_0, y_0) [/mm] = [mm] (x(t_0), y(t_0))$ [/mm]
z.B. mit $a=3$, $b=5$, [mm] $t_0=\frac{7}{6}\pi$
[/mm]
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Ich weiß nicht, ob ich das überhaupt verstanden habe. Nach deinem Vorschlag hab ich mal folgendes getan:
[mm] \vec{r}= \vektor{(R_{1}+R_{2}\*cos(u))\*cos(v) \\ (R_{1}+R_{2}\*cos(u))\*sin(v) \\ R_{2}\*cos(u)}
[/mm]
daraus die part. Ableitungen nach u und v:
[mm] \vec{r_{u}} [/mm] = [mm] \vektor{-R_{2}\*sin(u)\*cos(v) \\ -R_{2}\*sin(v)\*sin(u)\\R_{2}\*cos(u)}
[/mm]
[mm] \vec{r_{v}} [/mm] = [mm] \vektor{-sin(v)\*(1+R_{2}\*cos(u)) \\ cos(v)\*(1+R_{2}\*cos(u)) \\ 0}
[/mm]
damit wäre [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] (-R_{2}-R_{2}^{2}\*cos(u))\*\vektor{cos(u)\*cos(v) \\ cos(u)*sin(v) \\ sin(u)}
[/mm]
Ist die Überlegung (abgesehen von kleineren Rechenfehlern - die bekomm ich schon noch raus) erst mal richtig? In meinem Tafelwerk ist zumindest der Vektor (ohne den ausgeklammerten Zahlenwert - warum eigentlich?) so als Normalenvektor des Torus verzeichnet.
Nur wie kommt man von diesem Normalenvektor auf die entgültige Lösung?
Mit deiner unten geposteten Aufgabe weiß ich nichts anzufangen.
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Hallo Mathe-Slayer,
> Ich weiß nicht, ob ich das überhaupt verstanden habe. Nach
> deinem Vorschlag hab ich mal folgendes getan:
>
> [mm]\vec{r}= \vektor{(R_{1}+R_{2}\*cos(u))\*cos(v) \\ (R_{1}+R_{2}\*cos(u))\*sin(v) \\ R_{2}\*cos(u)}[/mm]
>
> daraus die part. Ableitungen nach u und v:
>
> [mm]\vec{r_{u}}[/mm] = [mm]\vektor{-R_{2}\*sin(u)\*cos(v) \\ -R_{2}\*sin(v)\*sin(u)\\R_{2}\*cos(u)}[/mm]
>
> [mm]\vec{r_{v}}[/mm] = [mm]\vektor{-sin(v)\*(1+R_{2}\*cos(u)) \\ cos(v)\*(1+R_{2}\*cos(u)) \\ 0}[/mm]
> .
> damit wäre [mm]\vec{n}[/mm] =
> [mm](-R_{2}-R_{2}^{2}\*cos(u))\*\vektor{cos(u)\*cos(v) \\ cos(u)*sin(v) \\ sin(u)}[/mm]
>
> Ist die Überlegung (abgesehen von kleineren Rechenfehlern -
> die bekomm ich schon noch raus) erst mal richtig? In meinem
Ja, bis auf den Normalenvektor. Den musst Du nochmal nachrechnen.
> Tafelwerk ist zumindest der Vektor (ohne den
> ausgeklammerten Zahlenwert - warum eigentlich?) so als
> Normalenvektor des Torus verzeichnet.
Mit diesem Vektor sind auch Vielfache davon Normalenvektoren der Ebene.
>
> Nur wie kommt man von diesem Normalenvektor auf die
> entgültige Lösung?
Setze die Parameter [mm]u_{0},\;v_{0}[/mm] in [mm]\vec{r}[/mm] und in [mm]\vec{n}[/mm] ein. Diese setzt Du dann in die Ebenengleichung ein:
[mm]
\left( {\left( {\begin{array}{*{20}c}
x \\
y \\
z \\
\end{array} } \right)\; - \;\vec r} \right)\;\vec n\; = \;0[/mm]
Das musst Du ausmultiplizieren und dann steht die Ebenengleichung bis auf ein Vielfaches da.
Gruß
MathePower
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