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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:16 Di 28.06.2011 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | Eine Frage zu einer Folgerung aus meinem Ana-Buch:
M [mm] \subseteq \IR^{n} [/mm] ist Untermannigfaltigkeit mit a [mm] \in [/mm] M
U [mm] \subseteq \IR^{n} [/mm] eine offene Umgebung von a und seien [mm] f_{1}, f_{2}, [/mm] ..., [mm] f_{n-k}: [/mm] U [mm] \to \IR [/mm] stetig diffbar mit:
M [mm] \cap [/mm] U = {x [mm] \in [/mm] U: [mm] f_{1}= [/mm] ... = [mm] f_{n-k} [/mm] = 0}
und
Rang [mm] \bruch{\delta(f_{1}, ..., f_{n-k})}{\delta x_{1}, ..., x_{n}} [/mm] (a) = n-k.
(jetzt kommt die Stelle)
[mm] \Rightarrow T_{a}M [/mm] = {v [mm] \in \IR^{n} [/mm] : <v, grad [mm] f_{j}(a)> [/mm] = 0 (j = 1, ..., n-k)} |
Wieso gilt, dass grad [mm] f_{j}(a) [/mm] senkrecht auf den v aus U steht?
Mir ist klar, dass der Grad eines [mm] f_{j} [/mm] gerade die Zeile in der Matrix oben ist, und die also alle linear unabhängig sind, weil der rang n-k ist; aber wieso folgt daraus schon, dass sie gerade die Normalenvektoren sind?
Vielen Dank für Hilfe schonmal ;)
Lg Loko
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(Frage) überfällig | | Datum: | 12:03 Mi 29.06.2011 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | | Immernoch zu obiger Folgerung.. |
Also.. hier heißt es auch noch, dass [mm] T_{a}M [/mm] = ker(Df(a)) ist. Das hab ich mir jetzt auch noch versucht klar zu machen.
Mein f(a)=0 [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] M [mm] \cap [/mm] U, dann ist für ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 [mm] f(\alpha(t)) [/mm] = 0, wobei t [mm] \in (-\varepsilon, \varepsilon) [/mm] und das [mm] \alpha [/mm] ist eine Kurve mit [mm] \alpha(0)=a [/mm] und [mm] \alpha'(0) [/mm] = v, mit v [mm] \in T_{a}M.
[/mm]
Also ist dann für kleine [mm] \varepsilon f(\alpha(t)) [/mm] = 0.
Jetzt möchte ich, dass auch die Ableitung gleich Null ist. Kann ich einfach beide Seiten ableiten, s.d. dann:
[mm] f'(\alpha'(t)) [/mm] = f'(v) = 0? Dann wäre ja gerade gezeigt, dass [mm] T_{a}M [/mm] = kerDf(a).
Ich weiß nicht ob ich halbwegs klar gezeigt hab was mein Problem ist ;) Ich bin gerade etwas verwirrt...
Viele Grüße
Loko
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 01.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 So 03.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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