Tannenbaumfunktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Fr 08.01.2010 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | Weihnachtsaufgabe: Wir betrachten die Funktion f: [0,5] [mm] \to \IR, [/mm] die gegeben wird durch
[mm] f(x)=\bruch{1}{7}((9-3x+[x])*[\bruch{x}{4}+\bruch{3}{4}]+2).
[/mm]
Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit. |
Hallo zusammen,
wir haben hier diese wirklich wunderschöne Weihnachtsaufgabe.
Gezeichnet sieht das Ding schon sehr stetig aus, wie ich das zeige, ist eine andere Sache.
Kann mir jemand viell. eine erste Idee geben..brauche ich die Definition für Punktstetigkeit oder lieber die ohne Folgen?
Normalerweise hat man eine Vermutung, wo die Funktion viell. unstetig sein könnte und überprüft dies an der Stelle...aber ich habe hier keine Vermutung :(
lG, Ferolei
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Fr 08.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Weihnachtsaufgabe: Wir betrachten die Funktion f: [0,5] [mm]\to \IR,[/mm]
> die gegeben wird durch
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{7}((9-3x+[x])*[\bruch{x}{4}+\bruch{3}{4}]+2).[/mm]
>
> Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit.
> Hallo zusammen,
>
> wir haben hier diese wirklich wunderschöne
> Weihnachtsaufgabe.
>
>
> Gezeichnet sieht das Ding schon sehr stetig aus, wie ich
> das zeige, ist eine andere Sache.
>
> Kann mir jemand viell. eine erste Idee geben..brauche ich
> die Definition für Punktstetigkeit oder lieber die ohne
> Folgen?
>
> Normalerweise hat man eine Vermutung, wo die Funktion
> viell. unstetig sein könnte und überprüft dies an der
> Stelle...aber ich habe hier keine Vermutung :(
Das ist der richtige Ansatz. Da die Verknüpfung stetiger Funktionen stetig sind, kommen nur $[x]$ und [mm] $\left[\bruch{x}{4}+\bruch{3}{4}\right]$ [/mm] als mögliche Quellen der Unstetigkeit in Frage. Die Unstetigkeitsstellen der [mm] $[\,\cdot\,]$-Funktion [/mm] sind dir doch bekannt; also musst du nur dort genauer schauen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Fr 08.01.2010 | | Autor: | Ferolei |
Garnicht so einfach... also meine Vermutung bisher:
f ist stetig auf [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IZ^{>0}
[/mm]
Ich habe es jetzt mehrfach versucht aufzuschreiben, aber ich finde keine allgemeine Schreibweise, die jeden Fall abdeckt.
Stoße immer auf Schwierigkeiten.
WOllte mir erst die konstante Folge [mm] x_n [/mm] wählen, danach [mm] x_n=x_0+\bruch{1}{n}...
[/mm]
die Funktionswerte für alle [mm] x\in\IR [/mm] \ [mm] \IZ^{0} [/mm] müssten doch [mm] \bruch{2}{7} [/mm] ergeben....
Habe ich denn die richtige Idee, mit einer Folge finden, deren Grenzwert nicht der Funktionswert der Funktion ist'?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Fr 08.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Garnicht so einfach... also meine Vermutung bisher:
>
> f ist stetig auf [mm]\IR[/mm] \ [mm]\IZ^{>0}[/mm]
Wieso nimmst du die positiven ganzen Zahlen aus? Zum einen ist die Gaußklammer für beliebige ganze Zahlen unstetig. Zum anderen musst du doch sowieso nur das Intervall $[0,5]$ betrachten. Du kannst also die Fälle an den Fingern abzählen.
Also: welches sind die möglichen Unstetigkeitsstellen?
> Ich habe es jetzt mehrfach versucht aufzuschreiben, aber
> ich finde keine allgemeine Schreibweise, die jeden Fall
> abdeckt.
> Stoße immer auf Schwierigkeiten.
>
> WOllte mir erst die konstante Folge [mm]x_n[/mm] wählen, danach
> [mm]x_n=x_0+\bruch{1}{n}...[/mm]
Das kannst du so machen, aber was ist dein [mm] $x_0$?
[/mm]
Und weiterhin: du weisst doch bereits, dass es höchstens isolierte Unstetigkeitsstellen gibt; und nur diese musst du anschauen. Dafür reicht es vollkommen aus den rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert der Funktion zu betrachten. Da der rechtsseitige Grenzwert der Gaußklammer überall gleich dem Funktionswert ist, brauchst du sogar nur den linksseitigen Grenzwert an den paar möglichen Unstetigkeitsstellen mit dem Funktionswert zu vergleichen.
Betrachte also Folgen der Form [mm] $x_n [/mm] = [mm] x_0- [/mm] 1/n$.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Fr 08.01.2010 | | Autor: | Ferolei |
> Hallo!
>
> > Garnicht so einfach... also meine Vermutung bisher:
> >
> > f ist stetig auf [mm]\IR[/mm] \ [mm]\IZ^{>0}[/mm]
>
> Wieso nimmst du die positiven ganzen Zahlen aus? Zum einen
> ist die Gaußklammer für beliebige ganze Zahlen unstetig.
> Zum anderen musst du doch sowieso nur das Intervall [mm][0,5][/mm]
> betrachten. Du kannst also die Fälle an den Fingern
> abzählen.
>
> Also: welches sind die möglichen Unstetigkeitsstellen?
>
Aber genau das wollte ich damit aussagen... also die Funtkion ist an allen reellen Stellen des Definitionsbereichs stetig... ich Behaupte, dass sie nur bei 1,2,3,4 und 5 unstetig ist...das wollte ich damit sagen.
Muss ich das anders formulieren?
Darf ich also nun nur die Gauschklammern betrachten und den Rest erst mal weg lassen?
Denn für alle 0<x<1 bzw. 1<x<2 usw... wird der erste Teil in der Klammer doch mit einer anderen Zahl multipliziert, mal mit 0, mal mit 1, usw...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Fr 08.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Hallo!
> >
> > > Garnicht so einfach... also meine Vermutung bisher:
> > >
> > > f ist stetig auf [mm]\IR[/mm] \ [mm]\IZ^{>0}[/mm]
> >
> > Wieso nimmst du die positiven ganzen Zahlen aus? Zum einen
> > ist die Gaußklammer für beliebige ganze Zahlen unstetig.
> > Zum anderen musst du doch sowieso nur das Intervall [mm][0,5][/mm]
> > betrachten. Du kannst also die Fälle an den Fingern
> > abzählen.
> >
> > Also: welches sind die möglichen Unstetigkeitsstellen?
> >
>
> Aber genau das wollte ich damit aussagen... also die
> Funtkion ist an allen reellen Stellen des
> Definitionsbereichs stetig... ich Behaupte, dass sie nur
> bei 1,2,3,4 und 5 unstetig ist...das wollte ich damit
> sagen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Muss ich das anders formulieren?
Es war nicht klar, was du gemeint hast.
>
> Darf ich also nun nur die Gauschklammern betrachten und den
> Rest erst mal weg lassen?
Was meinst du mit "weglassen"?
> Denn für alle 0<x<1 bzw. 1<x<2 usw... wird der erste Teil
> in der Klammer doch mit einer anderen Zahl multipliziert,
> mal mit 0, mal mit 1, usw...
Das verstehe ich nicht.
Du musst überprüfen, ob
[mm] \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0) [/mm]
Da die Gaußklammerfunktion überall rechtsseitig stetig ist, und damit auch die FUnktion f, musst du nur noch für deine 5 Fälle überprüfen, ob
[mm] \lim_{x\to x_0-}f(x) = f(x_0) [/mm]
Eine Möglichkeit ist es den Grenzwert geschickt umzuschreiben mit $x = [mm] x_0 [/mm] - y$:
[mm] \lim_{y\to 0+} f(x_0-y) = f(x_0) [/mm]
und die Eigenschaften der Gaußklammer auszunutzen: für genügend kleine positive y und [mm] $x_0\in \IZ$ [/mm] ist
[mm] [x_0-y] = x_0-1 [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Fr 08.01.2010 | | Autor: | Ferolei |
Könntest du mir das viell. einmal für eine Stelle (zB [mm] x_0=1) [/mm] zeigen?
Ich weiß einfach nicht wie ich das aufschreiben muss.
Wenn ich Behaupte, dass die Funktion dort unstetig ist, muss ich doch noch zeigen, dass f für alle anderen Stellen stetig ist,oder?
Indem ich die 5 Stellen nur rausgepickt habe, wurde der Rest ja nicht gezeigt.
lG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Fr 08.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Könntest du mir das viell. einmal für eine Stelle (zB
> [mm]x_0=1)[/mm] zeigen?
> Ich weiß einfach nicht wie ich das aufschreiben muss.
Setze $x=1-y$ in die Funktion ein. Rechne den Funktionswert aus. Beachte dabei, dass für $0<y<1$ gilt:
[mm] [1-y] = 0 [/mm] , [mm] \left[\bruch{x+3}{4}\right] = \left[1-\bruch{y}{4}\right] = 0 [/mm].
Was bekommst du also für $f(1-y)$ heraus? Vergleiche es mit $f(1)$! Gilt
[mm] \lim_{y\to 0+} f(1-y) = f(1) [/mm] ?
> Wenn ich Behaupte, dass die Funktion dort unstetig ist,
Das behauptest du nicht. Du willst überprüfen, ob sie dort stetig ist.
> muss ich doch noch zeigen, dass f für alle anderen Stellen
> stetig ist,oder?
>
> Indem ich die 5 Stellen nur rausgepickt habe, wurde der
> Rest ja nicht gezeigt.
Das hatten wir doch schon: dort, wo die Gaußklammer stetig ist, ist die gesamte Funktion stetig, da Summen, Differenzen, Produkte und Komposition stetiger Funktionen stetig sind. Es geht nur um die Unstetigkeitsstellen der Gaußklammer.
Viele Grüße
Rainer
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Fr 08.01.2010 | | Autor: | Ferolei |
Danke dir, wir sollten den auch zeichnen, aber für die Menge aller Punkte (x,y) in [mm] \IR [/mm] x [0,5] für die gilt: [mm] |x|=f^2(y)
[/mm]
Hatte das bei Derive mal versucht und habe den Tannenbaum nicht in Richtugn x Achse, sondern in Richtung y Achse erhalten (was ja klar ist, wenn der Definitions- und Wertebereich gewechselt wird :) )
lG, Ferolei
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:20 Fr 08.01.2010 | | Autor: | Ferolei |
> Und weiterhin: du weisst doch bereits, dass es höchstens
> isolierte Unstetigkeitsstellen gibt; und nur diese musst du
> anschauen. Dafür reicht es vollkommen aus den
> rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert der Funktion zu
> betrachten. Da der rechtsseitige Grenzwert der Gaußklammer
> überall gleich dem Funktionswert ist, brauchst du sogar
> nur den linksseitigen Grenzwert an den paar möglichen
> Unstetigkeitsstellen mit dem Funktionswert zu vergleichen.
>
Wir hatten leider keine Definitionen über linksseitiger und rechtsseitiger Stetigkeit. Habe im Buch nachgeschlagen, was mich nicht wirklich wieter bringt.
Wieso sagst du direkt, das ich rechtsseitig nicht betrachten muss?
Was heißt in diesem Zusammenhang der rechtsseitige Grenzwert. Betrachte ich nur gewisse Werte?
> Betrachte also Folgen der Form [mm]x_n = x_0- 1/n[/mm].
>
> Viele Grüße
> Rainer
>
>
Liebe Grüße,
Ferolei
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 So 10.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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