Tate-Kohomologie Isomorphismen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ein Homomorphismus [mm] \varphi [/mm] zwischen zwei G-Moduln $ M $ und $ M' $, derart dass für jede Primzahl p, eine Zahl q existiert, sodass [mm] H^{q}(G_{p}, \varphi) [/mm] surjektiv ist, eins weiter bijektiv und zwei weiter injektiv.
[mm] (G_{p} [/mm] bezeichne eine p-Sylow-UG). Zu zeigen ist, dass für jede Untergruppe U und jeden über den ganzen Zahlen freien G-Modul $ N $, [mm] \varphi [/mm] Isomorphismen auf den Kohomologiegruppen von M [mm] \otimes [/mm] N und M' [mm] \otimesN [/mm] induziert. |
Hallo allerseits,
ich beiße mir schon seit einiger Zeit die Zähne an dieser Aufgabe aus. :(
Ich betrachte das ganze erstmal für $ N [mm] \cong \IZ [/mm] $ und hoffe, dass es im allgemeineren Fall ähnlich geht. Ich betrachte die Sequenz
$ A= [mm] ker(\varphi) \hookrightarrow [/mm] M [mm] \xrightarrow{\varphi} [/mm] M' [mm] \twoheadrightarrow coker(\varphi) [/mm] = B $
und die beiden zugehörigen kurzen exakten Sequenzen über $ C $ = Kokern der Inklusion
Dann will ich zeigen, dass die Kohomologien von A und B verschwinden, sodass die Projektion auf $ C $ als auch die von [mm] \varphi [/mm] induzierte Abbildung auf $ C $ Isomorphismen auf den Kohomologiegruppen induzieren, sodass auch [mm] \varphi [/mm] Isomorphismen auf den Kohomologiegruppen induziert. Um das Verschwinden der Kohomologien zu zeigen, ist es ausreichend zu zeigen, dass für jede Primzahl p zwei aufeinanderfolgende [mm] G_{p}-Kohomologiegruppen [/mm] verschwinden. Also betrachte ich die induzierten langen exakten Sequenzen gerade an der Stelle, wo ich etwas über die Verbindungshomomorphismen weiß und komme jeweils auf:
Surjektion, Nullabbildung, Injektion, Surjektion, Null, Injektion
(beginnend mit der q-ten Kohomologiegruppe von $ C$ )
Im ersten (linken) Fall an zweiter und fünfter Stelle das Nullobjekt ist, im anderen Fall an dritter und sechster. Für sich gesehen folgt das nun nicht, aber selbst wenn ich die zusammen betrachte und versuche umherzujagen, krieg ich das nicht bewiesen.
Die Sequenz als Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dabei bezeichne $ [mm] X_{i}=H^{i}(G_{p}, [/mm] X) $, grün: Surjektion, blau: Injektion, orange: Bijektion, gelb: Nullabbildung
Das unterstrichene soll verschwinden, aber wenn ich mir aus irgendeinem dieser Objekte ein Element nehme, seh ich partout nicht, warum es 0 sein sollte. Ist die ganze Beweisidee falsch? Immerhin muss die Kohomologie von A und B nicht verschwinden, nur weil [mm] \varphi [/mm] Isomorphismen induziert, damit müssen das eine ja nur Injektionen sein und das andere Surjektionen. Ich hab aber so gar keine andere Idee, hier heranzugehen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo Salamence,
es wäre gut, wenn du das Bild etwas verkleiner könntest. So ist die Seite sehr unübersichtlich.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Sa 31.05.2014 | | Autor: | Salamence |
> Hallo Salamence,
>
> es wäre gut, wenn du das Bild etwas verkleiner könntest.
> So ist die Seite sehr unübersichtlich.
>
Das ist mir auch aufgefallen, aber irgendwie hat es nicht geklappt, die Größendarstellung hier zu ändern, also hab ich es nochmal in kleiner hochgeladen.
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Sa 31.05.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> > Hallo Salamence,
> >
> > es wäre gut, wenn du das Bild etwas verkleiner könntest.
> > So ist die Seite sehr unübersichtlich.
> >
> Das ist mir auch aufgefallen, aber irgendwie hat es nicht
> geklappt, die Größendarstellung hier zu ändern, also hab
> ich es nochmal in kleiner hochgeladen.
So weit mir bekannt, werden HTML-Befehle zum Einfügen und Skalieren von Mediendateien hier bei uns nicht unterstützt. Insofern muss man da beim Einscannen drauf achten oder mit einer geeigneten Freeware vor dem Upload runterskalieren. Fürs Forum optimal sind IMO ca. 800px Bildbreite, weil das dann zwar noch groß genug aber auf fast allen Endgeräten am Stück sichtbar ist.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal!
Ich meine, es hingekriegt zu haben im Fall $ N = [mm] \IZ [/mm] $, habe jetzt allerdings noch Probleme, es auf diesen Fall zurueckzufuehren. Meine Idee war induktiv zu zeigen: wenn $ f $ als auch $ f [mm] \otimes id_{\IZ^{d-1}} [/mm] $ Isomorphismen induzieren, so auch $ f [mm] \otimes id_{\IZ^{d}} [/mm] $, allerdings klappt das irgendwie nicht...
Ich bette dazu $ M = M [mm] \otimes \IZ [/mm] $ bzw. M' in mit [mm] \IZ^{d} [/mm] tensoriert ein und betrachte die kurzen exakten Sequenzen dazu mit Verbingshoms, die von f herruehren. Dann betrachte ich die langen exakten Kohomologiesequenzen mit Verbindungshomomorphismen, wobei diese nach Induktion Isomorphismen sind (vorne und hinten) und ich will zeigen, dass sie dies auch in der Mitte sind, das stimmt allerdings nicht, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 So 08.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 So 08.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
