Taylerpolynom < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:44 Fr 20.08.2010 | | Autor: | haloboy |
| Aufgabe | h(x)=[mm]\bruch{1}{x^2+1}[/mm] x€R
x0=0
Wie groß ist die maximale Abweichung von h zum Taylorpolynom T2 auf dem Intervall [-1,1] |
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nun habe ich das Taylorpolynom T2 berechnet was ergabe
[mm] T2=1-x^2
[/mm]
Nun dachte ich ich nehme das Lagrange Restglied
und berechne damit meine maximale Abweichung
Rn(x)=[mm] \bruch {h3(c)}{(n+1)!}*(x-x0)^{n+1}[/mm]
==> h3(c)= [mm]\bruch {24c^3}{(c^2+1)^3}-\bruch {48c^3}{(c^2+1)^4} [/mm]
dann habe ich n=2,x0=0,x=1 eingesetzt und bekomme
[mm]\bruch{\bruch {24c^3}{(c^2+1)^3}-\bruch{48c^3}{(c^2+1)^4}}{6}*(1)^3[/mm]
wenn ich nun die größte Abweichung suche, suche ich ja ein c für das dann R max wird. das wäre eigentlich in dem Falle 1. Dennoch bekomme ich immer nur 0 raus. ich habe das auch mit einen Funktionplotter überprüft und da ist das Maximum an der Stelle 1. daher muss ich irgendwo einen Denkfehler gemacht habe.
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:11 Fr 20.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> h(x)=[mm]\bruch{1}{x^2+1}[/mm] x€R
> x0=0
>
>
> Wie groß ist die maximale Abweichung von h zum
> Taylorpolynom T2 auf dem Intervall [-1,1]
> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Nun habe ich das Taylorpolynom T2 berechnet was ergabe
>
> [mm]T2=1-x^2[/mm]
Das ist uebrigens auch gleich [mm] $T_3$. [/mm] Damit kannst du eine bessere Fehlerabschaetzung bekommen.
> Nun dachte ich ich nehme das Lagrange Restglied
> und berechne damit meine maximale Abweichung
>
> Rn(x)=[mm] \bruch {h3(c)}{(n+1)!}*(x-x0)^{n+1}[/mm]
> ==> h3(c)=
> [mm]\bruch {24c^3}{(c^2+1)^3}-\bruch {48c^3}{(c^2+1)^4}[/mm]
Moment. Es muss $24 c$ und nicht $24 [mm] c^3$ [/mm] im ersten Zaehler lauten!
Und das ganze kann man noch Vereinfachen. Dann bekommst du [mm] $\frac{24 x (1 - x^2)}{(x^2 + 1)^4}$ [/mm] fuer die dritte Ableitung heraus.
> dann habe ich n=2,x0=0,x=1 eingesetzt und bekomme
> [mm]\bruch{\bruch {24c^3}{(c^2+1)^3}-\bruch{48c^3}{(c^2+1)^4}}{6}*(1)^3[/mm]
>
> wenn ich nun die größte Abweichung suche, suche ich ja
> ein c für das dann R max wird.
Betrag von $R$.
> das wäre eigentlich in dem Falle 1.
Warum? Wie kannst du das der Funktion ansehen? Ich kann es jedenfalls nicht. Und ich bezweifle auch dass es so einfach geht. Mach doch eine Kurvendiskussion.
Wenn sich Maple nicht verrechnet hat, sollte das Maximum von $h'''(x)$ auf $[0, 1]$ bei [mm] $\approx [/mm] 4.668559$ liegen.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:24 Fr 20.08.2010 | | Autor: | haloboy |
> Moin!
>
> > h(x)=[mm]\bruch{1}{x^2+1}[/mm] x€R
> > x0=0
> >
> >
> > Wie groß ist die maximale Abweichung von h zum
> > Taylorpolynom T2 auf dem Intervall [-1,1]
> > # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> >
> > Nun habe ich das Taylorpolynom T2 berechnet was ergabe
> >
> > [mm]T2=1-x^2[/mm]
>
> Das ist uebrigens auch gleich [mm]T_3[/mm]. Damit kannst du eine
> bessere Fehlerabschaetzung bekommen.
>
> > Nun dachte ich ich nehme das Lagrange Restglied
> > und berechne damit meine maximale Abweichung
> >
> > Rn(x)=[mm] \bruch {h3(c)}{(n+1)!}*(x-x0)^{n+1}[/mm]
> > ==> h3(c)=
> > [mm]\bruch {24c^3}{(c^2+1)^3}-\bruch {48c^3}{(c^2+1)^4}[/mm]
>
> Moment. Es muss [mm]24 c[/mm] und nicht [mm]24 c^3[/mm] im ersten Zaehler
> lauten!
>
> Und das ganze kann man noch Vereinfachen. Dann bekommst du
> [mm]\frac{24 x (1 - x^2)}{(x^2 + 1)^4}[/mm] fuer die dritte
> Ableitung heraus.
>
> > dann habe ich n=2,x0=0,x=1 eingesetzt und bekomme
> > [mm]\bruch{\bruch {24c^3}{(c^2+1)^3}-\bruch{48c^3}{(c^2+1)^4}}{6}*(1)^3[/mm]
>
> >
> > wenn ich nun die größte Abweichung suche, suche ich ja
> > ein c für das dann R max wird.
>
> Betrag von [mm]R[/mm].
>
> > das wäre eigentlich in dem Falle 1.
>
> Warum? Wie kannst du das der Funktion ansehen? Ich kann es
> jedenfalls nicht. Und ich bezweifle auch dass es so einfach
> geht. Mach doch eine Kurvendiskussion.
>
> Wenn sich Maple nicht verrechnet hat, sollte das Maximum
> von [mm]h'''(x)[/mm] auf [mm][0, 1][/mm] bei [mm]\approx 4.668559[/mm] liegen.
>
> LG Felix
>
erst mal vielen dank Felix für die schnelle Hilfe
stimmt muss 24x heißen (falsch abgeschireben)
wieso ich weiß das es bei 1 die größte abweichung ist, weil ich mir das Taylerpolynom 2ten grades und die funktion H(x) einzeichnen lassen habe und da das Taylerpolynom eine annährung ist und somit je weiter man vom punkt x0 sich entfernt die abweichung größer wird, kann man das wunderbar an den 2 grapfen sehn.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Fr 20.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > h(x)=[mm]\bruch{1}{x^2+1}[/mm] x€R
> > > x0=0
> > >
> > >
> > > Wie groß ist die maximale Abweichung von h zum
> > > Taylorpolynom T2 auf dem Intervall [-1,1]
> > > # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
> > >
> > >
> > > Nun habe ich das Taylorpolynom T2 berechnet was ergabe
> > >
> > > [mm]T2=1-x^2[/mm]
> >
> > Das ist uebrigens auch gleich [mm]T_3[/mm]. Damit kannst du eine
> > bessere Fehlerabschaetzung bekommen.
> >
> > > Nun dachte ich ich nehme das Lagrange Restglied
> > > und berechne damit meine maximale Abweichung
> > >
> > > Rn(x)=[mm] \bruch {h3(c)}{(n+1)!}*(x-x0)^{n+1}[/mm]
> > > ==>
> h3(c)=
> > > [mm]\bruch {24c^3}{(c^2+1)^3}-\bruch {48c^3}{(c^2+1)^4}[/mm]
> >
> > Moment. Es muss [mm]24 c[/mm] und nicht [mm]24 c^3[/mm] im ersten Zaehler
> > lauten!
> >
> > Und das ganze kann man noch Vereinfachen. Dann bekommst du
> > [mm]\frac{24 x (1 - x^2)}{(x^2 + 1)^4}[/mm] fuer die dritte
> > Ableitung heraus.
> >
> > > dann habe ich n=2,x0=0,x=1 eingesetzt und bekomme
> > > [mm]\bruch{\bruch {24c^3}{(c^2+1)^3}-\bruch{48c^3}{(c^2+1)^4}}{6}*(1)^3[/mm]
>
> >
> > >
> > > wenn ich nun die größte Abweichung suche, suche ich ja
> > > ein c für das dann R max wird.
> >
> > Betrag von [mm]R[/mm].
> >
> > > das wäre eigentlich in dem Falle 1.
> >
> > Warum? Wie kannst du das der Funktion ansehen? Ich kann es
> > jedenfalls nicht. Und ich bezweifle auch dass es so einfach
> > geht. Mach doch eine Kurvendiskussion.
> >
> > Wenn sich Maple nicht verrechnet hat, sollte das Maximum
> > von [mm]h'''(x)[/mm] auf [mm][0, 1][/mm] bei [mm]\approx 4.668559[/mm] liegen.
> >
> > LG Felix
> >
>
>
> erst mal vielen dank Felix für die schnelle Hilfe
>
> stimmt muss 24x heißen (falsch abgeschireben)
>
> wieso ich weiß das es bei 1 die größte abweichung ist,
> weil ich mir das Taylerpolynom 2ten grades und die funktion
> H(x) einzeichnen lassen habe und da das Taylerpolynom eine
> annährung ist und somit je weiter man vom punkt x0 sich
> entfernt die abweichung größer wird, kann man das
> wunderbar an den 2 grapfen sehn.
Ist dir bewusst, dass $c$ einfach zwischen 0 und 1 liegen muss in diesem Fall? Und nicht gleich 1 sein muss?
Der Loesungsansatz von Al-Chwarizmi und fred97 ist allerdings viel einfacher als der Ansatz ueber das Restglied.
LG Felix
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hallo haloboy,
ist denn überhaupt eine Fehlerabschätzung mittels Restglied
verlangt ? Wenn nicht, kann man die Aufgabe leichter direkt
und exakt lösen. Wegen der Symmetrie kann man sich überdies
auf das Intervall [0....1] beschränken und demzufolge das
Maximum von [mm] \left|\,h(x)-T_2(x)\,\right| [/mm] über diesem Intervall bestimmen.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Fr 20.08.2010 | | Autor: | fred97 |
Mein Vorschlag geht in eine ähnliche Richtung wie Al-Chwarizmis Vorschlag:
Es ist (nachrechnen !)
[mm] $h(x)-T_2(x) [/mm] = [mm] x^4*h(x) [/mm] = [mm] \bruch{x^4}{1+x^2}$
[/mm]
Die Differenz [mm] $d:=h-T_2$ [/mm] ist also in [-1,1] stets [mm] \ge [/mm] 0
Es ist d(0)=0 und d(-1)=d(1)=1/2
Weiter sieh tman durch Differentiation:
d ist in [-1,0] streng fallend und in [0,1] streng wachsend
Somit:
$max [mm] \{d(x): x \in [-1,1] \}$ [/mm] = ??
und
$min [mm] \{d(x): x \in [-1,1] \}$ [/mm] = ??
FRED
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