Taylor-Polynom < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Mi 01.05.2019 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | gegeben sei die Funktion f(x) = ln(2x-2) mit D = {x [mm] \in \IR [/mm] | x > 1}.
a) Berechnen Sie f(4).
b) Geben Sie das Taylor-Polynom 3. Grades mit dem Entwicklungspunkt [mm] x_0 [/mm] = 2 an.
c) Berechnen Sie f(4) approximativ mit Hilfe des in Teilaufgabe b) berechneten Taylor-Polynoms.
d) Bestimmen Sie für den in Teilaufgabe c) genannten Fall das Restglied des Taylor-Polynoms. |
Moin Moin,
zu a) f(4) = ln(2*4-2) = ln(6) [mm] \approx [/mm] 1,7918
zu b) [mm] T_3 [/mm] = f(2) + [mm] \bruch{f ' (2)}{1!}*(x-2) +\bruch{f '' (2)}{2!}*(x-2)^2 +\bruch{f ''' (2)}{3!}*(x-2)^3
[/mm]
f(x) = ln(2*x-2) mit f(2) = ln(2)
f ' (x) = [mm] \bruch{1}{2x-2}*2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{x-1} [/mm] mit f ' (2) = 1
f '' (x) = - [mm] \bruch{1}{(x-1)^2} [/mm] mit f '' (2) = - 1
f ''' (x) = [mm] \bruch{2}{(x-1)^3} [/mm] mit f ''' (2) = 2
=> [mm] T_3 [/mm] = ln(2) + [mm] \bruch{1}{1!}*(x-2) +\bruch{-1}{2!}*(x-2)^2 +\bruch{2}{3!}*(x-2)^3
[/mm]
[mm] T_3 [/mm] = ln(2) + (x-2) [mm] -\bruch{1}{2}*(x-2)^2 +\bruch{1}{3}*(x-2)^3
[/mm]
richtig?
zu c) [mm] T_3 [/mm] (4) = ln(2) + (4-2) [mm] -\bruch{1}{2}*(4-2)^2 +\bruch{1}{3}*(4-2)^3
[/mm]
[mm] \approx [/mm] 3,3598
Kann das richtig sein???
zu d) ... hmm. In der Formelsammlung habe ich gefunden:
[mm] R_{n;x_0} [/mm] (x) = f(x) - [mm] T_{n;x_0} [/mm] (x)
Also...
[mm] R_{n;2} [/mm] (x) = ln(2x-2) - [mm] T_{n;2} [/mm] (x)
reicht das so???
Danke & Gruß!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Mi 01.05.2019 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> gegeben sei die Funktion f(x) = ln(2x-2) mit D = {x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> | x > 1}.
>
>
> a) Berechnen Sie f(4).
>
> b) Geben Sie das Taylor-Polynom 3. Grades mit dem
> Entwicklungspunkt [mm]x_0[/mm] = 2 an.
>
> c) Berechnen Sie f(4) approximativ mit Hilfe des in
> Teilaufgabe b) berechneten Taylor-Polynoms.
>
> d) Bestimmen Sie für den in Teilaufgabe c) geannten Fall
> das Restglied des Taylor-Polynomms.
>
> Moin Moin,
>
> zu a) f(4) = ln(2*4-2) = ln(6) [mm]\approx[/mm] 1,7918
O.K.
>
> zu b) [mm]T_3[/mm] = f(2) + [mm]\bruch{f ' (2)}{1!}*(x-2) +\bruch{f '' (2)}{2!}*(x-2)^2 +\bruch{f ''' (2)}{3!}*(x-2)^3[/mm]
>
>
> f(x) = ln(2*x-2) mit f(2) = ln(2)
>
> f ' (x) = [mm]\bruch{1}{2x-2}*2[/mm] = [mm]\bruch{1}{x-1}[/mm] mit f '
> (2) = 1
>
> f '' (x) = - [mm]\bruch{1}{(x-1)^2}[/mm] mit f '' (2) = - 1
>
> f ''' (x) = [mm]\bruch{2}{(x-1)^3}[/mm] mit f ''' (2) = 2
>
>
> => [mm]T_3[/mm] = ln(2) + [mm]\bruch{1}{1!}*(x-2) +\bruch{-1}{2!}*(x-2)^2 +\bruch{2}{3!}*(x-2)^3[/mm]
>
> [mm]T_3[/mm] = ln(2) + (x-2) [mm]-\bruch{1}{2}*(x-2)^2 +\bruch{1}{3}*(x-2)^3[/mm]
>
> richtig?
Ja
>
>
> zu c) [mm]T_3[/mm] (4) = ln(2) + (4-2) [mm]-\bruch{1}{2}*(4-2)^2 +\bruch{1}{3}*(4-2)^3[/mm]
>
> [mm]\approx[/mm] 3,3598
>
>
> Kann das richtig sein???
Ja
>
>
> zu d) ... hmm. In der Formelsammlung habe ich gefunden:
>
>
> [mm]R_{n;x_0}[/mm] (x) = f(x) - [mm]T_{n;x_0}[/mm] (x)
>
>
> Also...
>
>
> [mm]R_{n;2}[/mm] (x) = ln(2x-2) - [mm]T_{n;2}[/mm] (x)
Das stimmt zwar, aber ich denke Du solltest eine spezielle Darstellung des Restglieds bestimmen. Welche hattet Ihr denn ?
>
>
> reicht das so???
>
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> Danke & Gruß!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Mi 01.05.2019 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
> >
> > zu d) ... hmm. In der Formelsammlung habe ich gefunden:
> >
> >
> > [mm]R_{n;x_0}[/mm] (x) = f(x) - [mm]T_{n;x_0}[/mm] (x)
> >
> >
> > Also...
> >
> >
> > [mm]R_{n;2}[/mm] (x) = ln(2x-2) - [mm]T_{n;2}[/mm] (x)
>
> Das stimmt zwar, aber ich denke Du solltest eine spezielle
> Darstellung des Restglieds bestimmen. Welche hattet Ihr
> denn ?
>
Den o.g. Ausdruck habe ich der Formelsammlung entnommen. Mehr "hatten wir" nicht.
Ich könnte höchstens [mm] T_3 [/mm] verwenden oder [mm] T_4 [/mm] ??? Mehr fällt mir nicht ein.
???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Mi 01.05.2019 | | Autor: | fred97 |
> Moin,
> > >
> > > zu d) ... hmm. In der Formelsammlung habe ich gefunden:
> > >
> > >
> > > [mm]R_{n;x_0}[/mm] (x) = f(x) - [mm]T_{n;x_0}[/mm] (x)
> > >
> > >
> > > Also...
> > >
> > >
> > > [mm]R_{n;2}[/mm] (x) = ln(2x-2) - [mm]T_{n;2}[/mm] (x)
> >
> > Das stimmt zwar, aber ich denke Du solltest eine spezielle
> > Darstellung des Restglieds bestimmen. Welche hattet Ihr
> > denn ?
> >
>
> Den o.g. Ausdruck habe ich der Formelsammlung entnommen.
> Mehr "hatten wir" nicht.
Das kann ich kaum glauben, Ihr hattet das Lagrange-Restglied nicht?
Google !
Wie stellt sich der Aufgabensteller das dann vor?
>
> Ich könnte höchstens [mm]T_3[/mm] verwenden oder [mm]T_4[/mm] ??? Mehr
> fällt mir nicht ein.
>
>
> ???
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Do 02.05.2019 | | Autor: | hase-hh |
> > Moin,
> > > >
> > > > zu d) ... hmm. In der Formelsammlung habe ich gefunden:
> > > >
> > > >
> > > > [mm]R_{n;x_0}[/mm] (x) = f(x) - [mm]T_{n;x_0}[/mm] (x)
> > > >
> > > >
> > > > Also...
> > > >
> > > >
> > > > [mm]R_{n;2}[/mm] (x) = ln(2x-2) - [mm]T_{n;2}[/mm] (x)
> > >
> > > Das stimmt zwar, aber ich denke Du solltest eine spezielle
> > > Darstellung des Restglieds bestimmen. Welche hattet Ihr
> > > denn ?
> > >
> >
> > Den o.g. Ausdruck habe ich der Formelsammlung entnommen.
> > Mehr "hatten wir" nicht.
>
> Das kann ich kaum glauben, Ihr hattet das
> Lagrange-Restglied nicht?
>
Durch deinen Hinweis habe ich im Internet gefunden
Restglied nach Lagrange
[mm] R_n(x) [/mm] = [mm] \bruch{f^{(n+1)}(\varepsilon)}{(n+1)!}*(x-x_0)^{n+1}
[/mm]
mit [mm] \varepsilon [/mm] zwischen x und [mm] x_0.
[/mm]
Das hieße für die Aufgabe
[mm] R_3(x) [/mm] = [mm] \bruch{f^{(3+1)}(\varepsilon)}{(3+1)!}*(x-2)^{3+1}
[/mm]
[mm] R_3(x) [/mm] = [mm] \bruch{f^{(4)}(\varepsilon)}{(4)!}*(x-2)^{4}
[/mm]
[mm] f^{(4)} [/mm] = - [mm] \bruch{6}{(x-1)^4}
[/mm]
[mm] R_3(x) [/mm] = [mm] \bruch{- \bruch{6}{(\varepsilon-1)^4}}{24}*(x-2)^{4}
[/mm]
[mm] R_3(x) [/mm] = - [mm] \bruch{1}{4*(\varepsilon-1)^4}*(x-2)^{4}
[/mm]
richtig?
Und wenn ich nun das Restglied an der Stelle 4 bestimmen soll, müsste ich dann hier nicht [mm] \varepsilon [/mm] = x _ [mm] x_0 [/mm] = 4 -2 = 2 wählen? => [mm] R_3(4) [/mm] = - 4 ???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 Do 02.05.2019 | | Autor: | fred97 |
> > > Moin,
> > > > >
> > > > > zu d) ... hmm. In der Formelsammlung habe ich gefunden:
> > > > >
> > > > >
> > > > > [mm]R_{n;x_0}[/mm] (x) = f(x) - [mm]T_{n;x_0}[/mm] (x)
> > > > >
> > > > >
> > > > > Also...
> > > > >
> > > > >
> > > > > [mm]R_{n;2}[/mm] (x) = ln(2x-2) - [mm]T_{n;2}[/mm] (x)
> > > >
> > > > Das stimmt zwar, aber ich denke Du solltest eine spezielle
> > > > Darstellung des Restglieds bestimmen. Welche hattet Ihr
> > > > denn ?
> > > >
> > >
> > > Den o.g. Ausdruck habe ich der Formelsammlung entnommen.
> > > Mehr "hatten wir" nicht.
> >
> > Das kann ich kaum glauben, Ihr hattet das
> > Lagrange-Restglied nicht?
> >
> Durch deinen Hinweis habe ich im Internet gefunden
>
> Restglied nach Lagrange
>
> [mm]R_n(x)[/mm] =
> [mm]\bruch{f^{(n+1)}(\varepsilon)}{(n+1)!}*(x-x_0)^{n+1}[/mm]
>
> mit [mm]\varepsilon[/mm] zwischen x und [mm]x_0.[/mm]
>
>
> Das hieße für die Aufgabe
>
> [mm]R_3(x)[/mm] =
> [mm]\bruch{f^{(3+1)}(\varepsilon)}{(3+1)!}*(x-2)^{3+1}[/mm]
>
> [mm]R_3(x)[/mm] = [mm]\bruch{f^{(4)}(\varepsilon)}{(4)!}*(x-2)^{4}[/mm]
>
> [mm]f^{(4)}[/mm] = - [mm]\bruch{6}{(x-1)^4}[/mm]
>
> [mm]R_3(x)[/mm] = [mm]\bruch{- \bruch{6}{(\varepsilon-1)^4}}{24}*(x-2)^{4}[/mm]
>
> [mm]R_3(x)[/mm] = - [mm]\bruch{1}{4*(\varepsilon-1)^4}*(x-2)^{4}[/mm]
>
>
> richtig?
Ja.
>
> Und wenn ich nun das Restglied an der Stelle 4 bestimmen
> soll, müsste ich dann hier nicht [mm]\varepsilon[/mm] = x _ [mm]x_0[/mm] =
> 4 -2 = 2 wählen? => [mm]R_3(4)[/mm] = - 4 ???
Nein. Du sollst doch gar nicht das Restglied an der Stelle 4 bestimmen. Das kannst Du i.a. auch gar nicht, weil Du die Stelle [mm] \epsilon [/mm] i.a. nicht kennst.
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> zu c) [mm]T_3[/mm] (4) = ln(2) + (4-2) [mm]-\bruch{1}{2}*(4-2)^2 +\bruch{1}{3}*(4-2)^3[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du hast das Fakultätszeichen vergessen!
[mm]T_3[/mm] (4) = ln(2) + (4-2) [mm]-\bruch{1}{2}*(4-2)^2 +\bruch{1}{3\red{!}}*(4-2)^3[/mm][mm] \approx [/mm] 2,026
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Mi 01.05.2019 | | Autor: | hase-hh |
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> > zu c) [mm]T_3[/mm] (4) = ln(2) + (4-2) [mm]-\bruch{1}{2}*(4-2)^2 +\bruch{1}{3}*(4-2)^3[/mm]
>
>
>
> Du hast das Fakultätszeichen vergessen!
>
> [mm]T_3[/mm] (4) = ln(2) + (4-2) [mm]-\bruch{1}{2}*(4-2)^2 +\bruch{1}{3\red{!}}*(4-2)^3[/mm][mm] \approx[/mm]
> 2,026
>
Naja, wenn f ''' (x) = [mm] \bruch{2}{(x-1)^3} [/mm] ist, dann müsste
... + [mm] \bruch{f '''(2)}{3!}*(4-2)^3 [/mm] = ... + [mm] \bruch{2}{3!}*(4-2)^3
[/mm]
= ... + [mm] \bruch{2}{6}*(4-2)^3 [/mm] = ... + [mm] \bruch{1}{3}+(4-2)^3 [/mm] sein
oder nicht?
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Du hast Recht: Ich habe die 2 vergessen. Sorry!
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