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Taylor-Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:06 Mi 01.05.2019
Autor: hase-hh

Aufgabe
gegeben sei die Funktion  f(x) = ln(2x-2)  mit D = {x [mm] \in \IR [/mm] | x > 1}.


a) Berechnen Sie f(4).

b) Geben Sie das Taylor-Polynom 3. Grades mit dem Entwicklungspunkt [mm] x_0 [/mm] = 2 an.

c) Berechnen Sie f(4) approximativ mit Hilfe des in Teilaufgabe b) berechneten Taylor-Polynoms.

d) Bestimmen Sie für den in Teilaufgabe c) genannten Fall das Restglied des Taylor-Polynoms.



Moin Moin,

zu a)  f(4) = ln(2*4-2)  = ln(6) [mm] \approx [/mm] 1,7918

zu b)  [mm] T_3 [/mm]  = f(2) + [mm] \bruch{f ' (2)}{1!}*(x-2) +\bruch{f '' (2)}{2!}*(x-2)^2 +\bruch{f ''' (2)}{3!}*(x-2)^3 [/mm]


f(x) = ln(2*x-2)    mit   f(2) = ln(2)

f ' (x) = [mm] \bruch{1}{2x-2}*2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{x-1} [/mm]    mit  f ' (2) = 1

f '' (x) = - [mm] \bruch{1}{(x-1)^2} [/mm]   mit  f '' (2) = - 1

f ''' (x) = [mm] \bruch{2}{(x-1)^3} [/mm]   mit  f ''' (2) = 2


  =>  [mm] T_3 [/mm] = ln(2) + [mm] \bruch{1}{1!}*(x-2) +\bruch{-1}{2!}*(x-2)^2 +\bruch{2}{3!}*(x-2)^3 [/mm]

[mm] T_3 [/mm] = ln(2) + (x-2) [mm] -\bruch{1}{2}*(x-2)^2 +\bruch{1}{3}*(x-2)^3 [/mm]

richtig?


zu c) [mm] T_3 [/mm] (4) = ln(2) + (4-2) [mm] -\bruch{1}{2}*(4-2)^2 +\bruch{1}{3}*(4-2)^3 [/mm]

  [mm] \approx [/mm] 3,3598  


Kann das richtig sein???


zu d)  ... hmm. In der Formelsammlung habe ich gefunden:


[mm] R_{n;x_0} [/mm] (x) = f(x) - [mm] T_{n;x_0} [/mm] (x)


Also...


[mm] R_{n;2} [/mm] (x) = ln(2x-2) - [mm] T_{n;2} [/mm] (x)  


reicht das so???


Danke & Gruß!





        
Bezug
Taylor-Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:42 Mi 01.05.2019
Autor: fred97

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> gegeben sei die Funktion  f(x) = ln(2x-2)  mit D = {x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> | x > 1}.
>  
>
> a) Berechnen Sie f(4).
>  
> b) Geben Sie das Taylor-Polynom 3. Grades mit dem
> Entwicklungspunkt [mm]x_0[/mm] = 2 an.
>  
> c) Berechnen Sie f(4) approximativ mit Hilfe des in
> Teilaufgabe b) berechneten Taylor-Polynoms.
>  
> d) Bestimmen Sie für den in Teilaufgabe c) geannten Fall
> das Restglied des Taylor-Polynomms.
>  
> Moin Moin,
>  
> zu a)  f(4) = ln(2*4-2)  = ln(6) [mm]\approx[/mm] 1,7918

O.K.


>
> zu b)  [mm]T_3[/mm]  = f(2) + [mm]\bruch{f ' (2)}{1!}*(x-2) +\bruch{f '' (2)}{2!}*(x-2)^2 +\bruch{f ''' (2)}{3!}*(x-2)^3[/mm]
>  
>
> f(x) = ln(2*x-2)    mit   f(2) = ln(2)
>  
> f ' (x) = [mm]\bruch{1}{2x-2}*2[/mm] = [mm]\bruch{1}{x-1}[/mm]    mit  f '
> (2) = 1
>  
> f '' (x) = - [mm]\bruch{1}{(x-1)^2}[/mm]   mit  f '' (2) = - 1
>  
> f ''' (x) = [mm]\bruch{2}{(x-1)^3}[/mm]   mit  f ''' (2) = 2
>  
>
> =>  [mm]T_3[/mm] = ln(2) + [mm]\bruch{1}{1!}*(x-2) +\bruch{-1}{2!}*(x-2)^2 +\bruch{2}{3!}*(x-2)^3[/mm]

>  
> [mm]T_3[/mm] = ln(2) + (x-2) [mm]-\bruch{1}{2}*(x-2)^2 +\bruch{1}{3}*(x-2)^3[/mm]
>  
> richtig?


Ja


>  
>
> zu c) [mm]T_3[/mm] (4) = ln(2) + (4-2) [mm]-\bruch{1}{2}*(4-2)^2 +\bruch{1}{3}*(4-2)^3[/mm]
>  
> [mm]\approx[/mm] 3,3598  
>
>
> Kann das richtig sein???


Ja


>  
>
> zu d)  ... hmm. In der Formelsammlung habe ich gefunden:
>
>
> [mm]R_{n;x_0}[/mm] (x) = f(x) - [mm]T_{n;x_0}[/mm] (x)
>
>
> Also...
>
>
> [mm]R_{n;2}[/mm] (x) = ln(2x-2) - [mm]T_{n;2}[/mm] (x)  

Das stimmt zwar, aber ich denke Du solltest eine spezielle Darstellung des Restglieds bestimmen. Welche hattet Ihr denn ?


>
>
> reicht das so???
>  
>
> Danke & Gruß!
>  
>
>
>  


Bezug
                
Bezug
Taylor-Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:00 Mi 01.05.2019
Autor: hase-hh

Moin,
> >
> > zu d)  ... hmm. In der Formelsammlung habe ich gefunden:
> >
> >
> > [mm]R_{n;x_0}[/mm] (x) = f(x) - [mm]T_{n;x_0}[/mm] (x)
> >
> >
> > Also...
> >
> >
> > [mm]R_{n;2}[/mm] (x) = ln(2x-2) - [mm]T_{n;2}[/mm] (x)  
>
> Das stimmt zwar, aber ich denke Du solltest eine spezielle
> Darstellung des Restglieds bestimmen. Welche hattet Ihr
> denn ?
>  

Den o.g. Ausdruck habe ich der Formelsammlung entnommen. Mehr "hatten wir" nicht.

Ich könnte höchstens [mm] T_3 [/mm]  verwenden oder [mm] T_4 [/mm] ??? Mehr fällt mir nicht ein.


???




Bezug
                        
Bezug
Taylor-Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:54 Mi 01.05.2019
Autor: fred97


> Moin,
>  > >

> > > zu d)  ... hmm. In der Formelsammlung habe ich gefunden:
> > >
> > >
> > > [mm]R_{n;x_0}[/mm] (x) = f(x) - [mm]T_{n;x_0}[/mm] (x)
> > >
> > >
> > > Also...
> > >
> > >
> > > [mm]R_{n;2}[/mm] (x) = ln(2x-2) - [mm]T_{n;2}[/mm] (x)  
> >
> > Das stimmt zwar, aber ich denke Du solltest eine spezielle
> > Darstellung des Restglieds bestimmen. Welche hattet Ihr
> > denn ?
>  >  
>
> Den o.g. Ausdruck habe ich der Formelsammlung entnommen.
> Mehr "hatten wir" nicht.

Das  kann ich  kaum  glauben,  Ihr hattet das Lagrange-Restglied nicht?

Google  !


Wie stellt sich der Aufgabensteller das dann vor?

>
> Ich könnte höchstens [mm]T_3[/mm]  verwenden oder [mm]T_4[/mm] ??? Mehr
> fällt mir nicht ein.
>
>
> ???
>  
>
>  


Bezug
                                
Bezug
Taylor-Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:51 Do 02.05.2019
Autor: hase-hh


> > Moin,
>  >  > >

> > > > zu d)  ... hmm. In der Formelsammlung habe ich gefunden:
> > > >
> > > >
> > > > [mm]R_{n;x_0}[/mm] (x) = f(x) - [mm]T_{n;x_0}[/mm] (x)
> > > >
> > > >
> > > > Also...
> > > >
> > > >
> > > > [mm]R_{n;2}[/mm] (x) = ln(2x-2) - [mm]T_{n;2}[/mm] (x)  
> > >
> > > Das stimmt zwar, aber ich denke Du solltest eine spezielle
> > > Darstellung des Restglieds bestimmen. Welche hattet Ihr
> > > denn ?
>  >  >  
> >
> > Den o.g. Ausdruck habe ich der Formelsammlung entnommen.
> > Mehr "hatten wir" nicht.
>
> Das  kann ich  kaum  glauben,  Ihr hattet das
> Lagrange-Restglied nicht?
>  

Durch deinen Hinweis habe ich im Internet gefunden

Restglied nach Lagrange

[mm] R_n(x) [/mm] = [mm] \bruch{f^{(n+1)}(\varepsilon)}{(n+1)!}*(x-x_0)^{n+1} [/mm]

mit [mm] \varepsilon [/mm] zwischen x und [mm] x_0. [/mm]


Das hieße für die Aufgabe  

[mm] R_3(x) [/mm] = [mm] \bruch{f^{(3+1)}(\varepsilon)}{(3+1)!}*(x-2)^{3+1} [/mm]

[mm] R_3(x) [/mm] = [mm] \bruch{f^{(4)}(\varepsilon)}{(4)!}*(x-2)^{4} [/mm]

[mm] f^{(4)} [/mm] = - [mm] \bruch{6}{(x-1)^4} [/mm]

[mm] R_3(x) [/mm] = [mm] \bruch{- \bruch{6}{(\varepsilon-1)^4}}{24}*(x-2)^{4} [/mm]

[mm] R_3(x) [/mm] = - [mm] \bruch{1}{4*(\varepsilon-1)^4}*(x-2)^{4} [/mm]


richtig?

Und wenn ich nun das Restglied an der Stelle 4 bestimmen soll, müsste ich dann hier nicht  [mm] \varepsilon [/mm] = x _ [mm] x_0 [/mm]  = 4 -2 = 2  wählen?   =>  [mm] R_3(4) [/mm] = - 4 ???

Bezug
                                        
Bezug
Taylor-Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:11 Do 02.05.2019
Autor: fred97


> > > Moin,
>  >  >  > >

> > > > > zu d)  ... hmm. In der Formelsammlung habe ich gefunden:
> > > > >
> > > > >
> > > > > [mm]R_{n;x_0}[/mm] (x) = f(x) - [mm]T_{n;x_0}[/mm] (x)
> > > > >
> > > > >
> > > > > Also...
> > > > >
> > > > >
> > > > > [mm]R_{n;2}[/mm] (x) = ln(2x-2) - [mm]T_{n;2}[/mm] (x)  
> > > >
> > > > Das stimmt zwar, aber ich denke Du solltest eine spezielle
> > > > Darstellung des Restglieds bestimmen. Welche hattet Ihr
> > > > denn ?
>  >  >  >  
> > >
> > > Den o.g. Ausdruck habe ich der Formelsammlung entnommen.
> > > Mehr "hatten wir" nicht.
> >
> > Das  kann ich  kaum  glauben,  Ihr hattet das
> > Lagrange-Restglied nicht?
>  >  
> Durch deinen Hinweis habe ich im Internet gefunden
>
> Restglied nach Lagrange
>
> [mm]R_n(x)[/mm] =
> [mm]\bruch{f^{(n+1)}(\varepsilon)}{(n+1)!}*(x-x_0)^{n+1}[/mm]
>  
> mit [mm]\varepsilon[/mm] zwischen x und [mm]x_0.[/mm]
>  
>
> Das hieße für die Aufgabe  
>
> [mm]R_3(x)[/mm] =
> [mm]\bruch{f^{(3+1)}(\varepsilon)}{(3+1)!}*(x-2)^{3+1}[/mm]
>  
> [mm]R_3(x)[/mm] = [mm]\bruch{f^{(4)}(\varepsilon)}{(4)!}*(x-2)^{4}[/mm]
>  
> [mm]f^{(4)}[/mm] = - [mm]\bruch{6}{(x-1)^4}[/mm]
>  
> [mm]R_3(x)[/mm] = [mm]\bruch{- \bruch{6}{(\varepsilon-1)^4}}{24}*(x-2)^{4}[/mm]
>  
> [mm]R_3(x)[/mm] = - [mm]\bruch{1}{4*(\varepsilon-1)^4}*(x-2)^{4}[/mm]
>  
>
> richtig?

Ja.


>  
> Und wenn ich nun das Restglied an der Stelle 4 bestimmen
> soll, müsste ich dann hier nicht  [mm]\varepsilon[/mm] = x _ [mm]x_0[/mm]  =
> 4 -2 = 2  wählen?   =>  [mm]R_3(4)[/mm] = - 4 ???


Nein. Du sollst doch gar nicht das Restglied an der Stelle 4 bestimmen. Das kannst Du i.a. auch gar nicht, weil Du die Stelle [mm] \epsilon [/mm] i.a. nicht kennst.




Bezug
        
Bezug
Taylor-Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:49 Mi 01.05.2019
Autor: HJKweseleit


> zu c) [mm]T_3[/mm] (4) = ln(2) + (4-2) [mm]-\bruch{1}{2}*(4-2)^2 +\bruch{1}{3}*(4-2)^3[/mm]

[notok]

Du hast das Fakultätszeichen vergessen!

[mm]T_3[/mm] (4) = ln(2) + (4-2) [mm]-\bruch{1}{2}*(4-2)^2 +\bruch{1}{3\red{!}}*(4-2)^3[/mm][mm] \approx [/mm] 2,026



Bezug
                
Bezug
Taylor-Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:05 Mi 01.05.2019
Autor: hase-hh


>
> > zu c) [mm]T_3[/mm] (4) = ln(2) + (4-2) [mm]-\bruch{1}{2}*(4-2)^2 +\bruch{1}{3}*(4-2)^3[/mm]
>  
> [notok]
>  
> Du hast das Fakultätszeichen vergessen!
>  
> [mm]T_3[/mm] (4) = ln(2) + (4-2) [mm]-\bruch{1}{2}*(4-2)^2 +\bruch{1}{3\red{!}}*(4-2)^3[/mm][mm] \approx[/mm]
> 2,026
>  

Naja, wenn f ''' (x) = [mm] \bruch{2}{(x-1)^3} [/mm] ist, dann müsste  

... + [mm] \bruch{f '''(2)}{3!}*(4-2)^3 [/mm]  = ... + [mm] \bruch{2}{3!}*(4-2)^3 [/mm]

  = ... + [mm] \bruch{2}{6}*(4-2)^3 [/mm]   =  ... + [mm] \bruch{1}{3}+(4-2)^3 [/mm]   sein


oder nicht?




Bezug
                        
Bezug
Taylor-Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 Mi 01.05.2019
Autor: HJKweseleit

Du hast Recht: Ich habe die 2 vergessen. Sorry!

Bezug
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