Taylor-Polynom < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 Mi 10.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo ihr,
ich will das n-te Taylor-Polynom an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] bilden, wenn [mm] f\in\IR[x] [/mm] ein Polynom vom Grad n ist.
So, das Taylor-Polynom kenne ich, an einer Stelle entwickeln kann ich auch, aber was heißt "wenn [mm] f\in\IR[x] [/mm] ein Polynom vom Grad n ist"?
Liebe Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Mi 10.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo elefanti,
du sollst das Taylorpolynom eines Polynoms vom Grad n mit reellen Koeefizienten bilden.
[mm]\IR[x][/mm] ist der Ring der Polynome über dem Körper [mm]\IR[/mm], also aller
[mm] \left\{\summe_i a_i x^i \mid a_i\in\IR\right\}[/mm].
Geht also davon aus, dass
[mm] f(x) = \summe_{i=0}^n a_i x^i , \quad a_i\in\IR[/mm]
ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Mi 10.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo Rainer,
vielen Dank für deine Antwort.
Das Taylor-Polynom ist ja:
[mm] T_n(x)=\summe_{k=0}^{n}(f^{k}(x_0)/k!) *(x-x_0)^k.
[/mm]
=> [mm] T_n(0) =\summe_{k=0}^{n}(f^{k}(0)/k!) *(x)^k
[/mm]
Wenn man jetzt 0 in die Funktion und jede ihrer Ableitungen einsetzt, erhält man ja jedes mal einen Wert [mm] a\in \IR [/mm] (also z.B. bei [mm] x^2+x^1+3 [/mm] wäre a=3).
Aber wie bilde ich nun das n-te Taylor-Polynom allgemein für f?
Liebe Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Mi 10.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst alle Ableitungen deines Polynoms bilden, und dann x=0 einsetzen.
dabei denk dran die k-te Ableitung von [mm] x^k [/mm] ist k!
Dann hast dus ganz schnell!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 Do 11.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo ihr,
mein f(x) sieht also so aus:
f(x) = [mm] a_n*x^n+a_{n-1}*x^{n-1}+...+a_1*x^1+a_0
[/mm]
[mm] =>f(0)=a_0
[/mm]
Dann ist [mm] f^1(x) [/mm] = [mm] n*a_n*x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}*x^{n-2}+...+a_1*x^0
[/mm]
[mm] =>f^1(0)=a_1
[/mm]
[mm] =>f^n(0)=a_n
[/mm]
[mm] T_n(x)=(f^0(x_0)/k!)*x^k [/mm] + [mm] (f^1(x_0)/k!)*x^k +...+(f^n(x_0)/k!)*x^k
[/mm]
= [mm] (a_0/0!)*x^0 [/mm] + [mm] (a_1/1!)*x^1 [/mm] + [mm] ...+(a_n/n!)*x^n
[/mm]
= [mm] a_0+ a_1*x+..+(a_n/n!)*x^n
[/mm]
Man leitet [mm] x^k [/mm] doch gar nicht ab?!
Viele Grüße
Elefanti
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Hallo,
das Ausrufezeichen am Satzende von leduart war kein Ausrufezeichen, sondern die Fakultät.
[mm] $f^{(n)}(0) [/mm] = [mm] a_{n}*n*(n-1)*(n-2)*...*1= a_{n}*n!$
[/mm]
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Do 11.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo,
dann ist [mm] T_n(x) [/mm] komischerweise wieder mein Polynom f(x):
[mm] T_n(x)=((a_0*0!)/0!)*x^0+((a_1*1!)/1!)*x^1+...+((a_n*n!)/n!)*x^n
[/mm]
= [mm] a_0*x^0+a_1*x^1+...+a_n*x^n
[/mm]
= [mm] \summe_{i=0}^{n} a_i*x^i
[/mm]
= f(x)
Ist das richtig?
Falls ja, warum ist [mm] T_n(x)=f(x)?
[/mm]
Liebe Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Do 11.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja du hast recht! es ist genau das Polynom. ein Polynom nten Grades ist entweder durch n+1 Punkte, oder durch Funktionswert und n Ableitungen eindeutig bestimmt. Da du den Fehler von [mm] T_n [/mm] dur [mm] f^{(n+1)} [/mm] abschätzen kannst und [mm] f^{(n+1)}=0 [/mm] für alle x ist das auch schon vorher klar. Es erklärt auch, warum die Taylorpol. approximieren, sie geben nämlich in der n-ten Ordnung gerade das Polynom, was mit der Funktion die ersten n Ableitungen gemeisam hat.
Das solltet ihr selbst rauskriegen, hast du ja nun auch !
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Do 11.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Vielen Dank für eure Antworten!
Viele Grüße
Elefanti
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