Taylor-Polynom < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Di 23.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | Geben Sie die Taylor-Reihe von cos(2x) um den Entwicklungspunkte [mm] x_{0}=0 [/mm] an. Wie können Sie aus der Taylorreihe für cos(x) erhalten? |
Hallo,
ich möchte obige aufgabe lösen. Irgendwie kommt mir der zweite Satz komisch vor. Glaube irgendein gramatikalischer fehler XD.
Auf jeden fall möchte ich diese Taylorreihe angeben. Aber wie?
Verwende ich da irgendeine Formel? Was muss ich genau machen??
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Di 23.04.2013 | | Autor: | chrisno |
Da scheint im zweiten Satz "diese" zu fehlen. "Wie können Sie diese aus ...."
Ansonsten offenbare mal Deinen Wissenstand.
Wenn er noch sehr gering ist, geh mal im Internet auf Formeljagd und tippe hier ein, was Du erlegt hast.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Di 23.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
Also ich würde ja gerne diese Formel verwenden:
$ [mm] f(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{(k)}(a)}{k!}\cdot{}(x-a)^{k}+R_{n+1}(x) [/mm] $
Aber das geht ja nicht, da ich den Grad des Taylorpolynomes nicht kenne...
Oder ist diese Formel ganz falsch?
lg
ali
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Hallo,
> Also ich würde ja gerne diese Formel verwenden:
>
> [mm]f(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{(k)}(a)}{k!}\cdot{}(x-a)^{k}+R_{n+1}(x)[/mm]
Das ist die Formel für ein Taylorpolynom vom Grad n (mit Restglied)
Da du eine Taylorreihe angeben sollst, nimm [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\red{\infty}}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\cdot{}(x-a)^k$
[/mm]
Bei dir ist [mm] $a=x_0=0$, [/mm] damit vereinfacht sich die Formel etwas...
>
> Aber das geht ja nicht, da ich den Grad des Taylorpolynomes
> nicht kenne...
>
> Oder ist diese Formel ganz falsch?
>
> lg
> ali
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Mi 24.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
Ok. Dann wäre es so:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{cos(0)^{(k)}}{k!}*(x-0)^{k}
[/mm]
Aber wie setze ich jetzt das [mm] \infty [/mm] ein???
Eine andere Idee von mir wäre:
cos(0) ist ja 1 und 1 hoch egal was ist immernoch 1. Und das ganze jetzt dividiert durch " [mm] \infty! [/mm] " ist fast 0 und fast 0 multipliziert mit egal was ist wiederrum fast 0. Somit ist die Taylorreihe = 0.
richtig? falsch? totaler schmarn?
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Mi 24.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ok. Dann wäre es so:
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> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{cos(0)^{(k)}}{k!}*(x-0)^{k}[/mm]
>
> Aber wie setze ich jetzt das [mm]\infty[/mm] ein???
>
> Eine andere Idee von mir wäre:
>
> cos(0) ist ja 1 und 1 hoch egal was ist immernoch 1. Und
> das ganze jetzt dividiert durch " [mm]\infty![/mm] " ist fast 0 und
> fast 0 multipliziert mit egal was ist wiederrum fast 0.
> Somit ist die Taylorreihe = 0.
>
> richtig? falsch? totaler schmarn?
Totaler Schmarn !!!
Es ist cos(x)= [mm] \summe_{n=0}^{ \infty}(-1)^n*\bruch{x^{2n}}{(2n)!}
[/mm]
das ist die Taylorreihe von Cosinus im Entwicklungspunkt [mm] x_0=0
[/mm]
Setze nun für das x einfach 2x ein. Dann hast Du die Taylorreihe von cos(2x) im Entwicklungspunkt [mm] x_0=0
[/mm]
FRED
>
> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Mi 24.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
> > Ok. Dann wäre es so:
> >
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{cos(0)^{(k)}}{k!}*(x-0)^{k}[/mm]
>
> >
> > Aber wie setze ich jetzt das [mm]\infty[/mm] ein???
> >
> > Eine andere Idee von mir wäre:
> >
> > cos(0) ist ja 1 und 1 hoch egal was ist immernoch 1. Und
> > das ganze jetzt dividiert durch " [mm]\infty![/mm] " ist fast 0 und
> > fast 0 multipliziert mit egal was ist wiederrum fast 0.
> > Somit ist die Taylorreihe = 0.
> >
> > richtig? falsch? totaler schmarn?
>
> Totaler Schmarn !!!
Stimmt. Es ist ja eine Reihe gefragt!!! :-(
>
> Es ist cos(x)= [mm]\summe_{n=0}^{ \infty}(-1)^n*\bruch{x^{2n}}{(2n)!}[/mm]
>
> das ist die Taylorreihe von Cosinus im Entwicklungspunkt
> [mm]x_0=0[/mm]
>
> Setze nun für das x einfach 2x ein. Dann hast Du die
> Taylorreihe von cos(2x) im Entwicklungspunkt [mm]x_0=0[/mm]
Eingesetzt sieht es nun so aus:
[mm] cos(2x)=\summe_{n=0}^{\infty}*(-1)^{n}*\bruch{(2x)^{2n}}{2n!}
[/mm]
Soll ich einfach nur das hinschreiben und fertig?
>
> FRED
> >
> > Danke schonmal.
> >
> > Grüße
> > Ali
>
Danke.
Grüße
Ali
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> [mm]cos(2x)=\summe_{n=0}^{\infty}*(-1)^{n}*\bruch{(2x)^{2n}}{2n!}[/mm]
>
> Soll ich einfach nur das hinschreiben und fertig?
Hi Ali,
ich würde noch einen kleinen Schritt weiter gehen
und angeben, wie der Koeffizient [mm] a_k [/mm] in der
Taylorreihe
$\ [mm] cos(2\,x)\ [/mm] =\ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_k\,*x^k$
[/mm]
aus dem Index k zu bestimmen ist.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Mi 24.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
> >
> [mm]cos(2x)=\summe_{n=0}^{\infty}*(-1)^{n}*\bruch{(2x)^{2n}}{2n!}[/mm]
> >
> > Soll ich einfach nur das hinschreiben und fertig?
>
>
> Hi Ali,
>
> ich würde noch einen kleinen Schritt weiter gehen
> und angeben, wie der Koeffizient [mm]a_k[/mm] in der
> Taylorreihe
>
> [mm]\ cos(2\,x)\ =\ \summe_{k=0}^{\infty}a_k\,*x^k[/mm]
>
> aus dem Index k zu bestimmen ist.
also so:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{2n!}*(2x)^{2n}
[/mm]
???
Ist das so richtig?
>
> LG , Al-Chw.
Grüße
Ali
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Hallo Ali,
> > >
> >
> [mm]cos(2x)=\summe_{n=0}^{\infty}*(-1)^{n}*\bruch{(2x)^{2n}}{2n!}[/mm]
Das ist falsch! Du arbeitest zu ungenau bzw. sehr schlampig ...
Das macht das Helfen arg anstrengend. Alles muss 1000fach wiederholt werden.
Schaue nochmal, welche Reihe genau dir Fred schon servierfertig dargeboten hat.
> > >
> > > Soll ich einfach nur das hinschreiben und fertig?
> >
> >
> > Hi Ali,
> >
> > ich würde noch einen kleinen Schritt weiter gehen
> > und angeben, wie der Koeffizient [mm]a_k[/mm] in der
> > Taylorreihe
> >
> > [mm]\ cos(2\,x)\ =\ \summe_{k=0}^{\infty}a_k\,*x^k[/mm]
> >
> > aus dem Index k zu bestimmen ist.
>
> also so:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{2n!}*(2x)^{2n}[/mm]
>
> ???
>
> Ist das so richtig?
Nein, das ist kompletter Unfug. Du summierst unendlich oft einfach nur einen konstanten Term auf.
Das ist nicht die Taylorreihe für [mm]\cos(2x)[/mm]
Was Al meinte, war, dass du die 2 noch aus dem [mm](2x)^{2k}[/mm] rausziehen sollst, damit du [mm]a_k\cdot{}x^{2k}[/mm] bzw. [mm]a_k%5Ccdot%7B%7D%5Cleft(x%5E2%5Cright)%5Ek[/mm] schlussendlich in der Reihe stehen hast.
Aber es steht hier alles schon im thread.
Lies alles nochmal gründlich durch und fasse dein Ergebnis nochmal sorgfältig zusammen.
Dann können wir das gerne absegnen ...
> Grüße
> Ali
LG
schachuzipus
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