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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Sa 23.04.2011 | | Autor: | Dante19 |
| Aufgabe | Entwickeln Sie die Funktion f(x) [mm] =\bruch{3x-7}{x^2-5x+6}
[/mm]
im Punkt x0 = 1 in eine Taylor-Reihe.
Geben Sie die ersten fünf Reihenglieder explizit an und bestimmen Sie den Konvergenzbereich |
hi
Also ich habe die PBZ von f(x) [mm] =\bruch{3x-7}{x^2-5x+6}
[/mm]
und da kommt f(x) [mm] =\bruch{3x-7}{x^2-5x+6}=\bruch{2}{x-3}+\bruch{1}{x-2}
[/mm]
raus
Was mir Schwierigkeiten bereitet ist [mm] \bruch{2}{x-3}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{-5+x+2} [/mm] hier weiß ich nicht ob die 2/5 oder 1/5 rausholen muss, ich habe es mal mit den 1/5 gerechnet
[mm] \bruch{-1}{5}*\bruch{2}{1-x+\bruch{2}{5}}=\bruch{-1}{5}(1+\bruch{x+2}{5}+\bruch{(x+2)^2}{(5)^2}+....)=
[/mm]
[mm] \bruch{-1}{5}-\bruch{x+2}{5^2}-\bruch{(x+2)^2}{5^3}...=-\summe_{\infty}^{k=0} \bruch{1}{5}^k+1 (x+2)^k
[/mm]
Konvergenzbereich
[mm] |\bruch{x+2}{5}|<1 \Rightarrow -1<|\bruch{x+2}{5}|<1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] -5<|x+2|<5 [mm] \Rightarrow [/mm] -7<|x|<3
konvergenz fuer [mm] x\in [/mm] (-7,3)
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Hallo Dante19,
> Entwickeln Sie die Funktion f(x) [mm]=\bruch{3x-7}{x^2-5x+6}[/mm]
> im Punkt x0 = 1 in eine Taylor-Reihe.
> Geben Sie die ersten fünf Reihenglieder explizit an und
> bestimmen Sie den Konvergenzbereich
>
>
>
> hi
>
> Also ich habe die PBZ von f(x) [mm]=\bruch{3x-7}{x^2-5x+6}[/mm]
>
> und da kommt f(x)
> [mm]=\bruch{3x-7}{x^2-5x+6}=\bruch{2}{x-3}+\bruch{1}{x-2}[/mm]
>
> raus
>
> Was mir Schwierigkeiten bereitet ist [mm]\bruch{2}{x-3}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2}{-5+x+2}[/mm] hier weiß ich nicht ob die 2/5 oder 1/5
> rausholen muss, ich habe es mal mit den 1/5 gerechnet
>
> [mm]\bruch{-1}{5}*\bruch{2}{1-x+\bruch{2}{5}}=\bruch{-1}{5}(1+\bruch{x+2}{5}+\bruch{(x+2)^2}{(5)^2}+....)=[/mm]
>
> [mm]\bruch{-1}{5}-\bruch{x+2}{5^2}-\bruch{(x+2)^2}{5^3}...=-\summe_{\infty}^{k=0} \bruch{1}{5}^k+1 (x+2)^k[/mm]
Der Entwicklungspunkt ist doch [mm]x_{0}=1[/mm]
Daher mußt Du schreiben:
[mm]\bruch{2}{x-3}=\bruch{2}{\left(x-1\right)-2}[/mm]
bzw.
[mm]\bruch{1}{x-2}=\bruch{1}{\left(x-1\right)-1}[/mm]
Und das kannst Du dann in eine geometrische Reihe umwandeln.
>
> Konvergenzbereich
>
> [mm]|\bruch{x+2}{5}|<1 \Rightarrow -1<|\bruch{x+2}{5}|<1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] -5<|x+2|<5 [mm]\Rightarrow[/mm] -7<|x|<3
>
> konvergenz fuer [mm]x\in[/mm] (-7,3)
>
Gruss
MathePower
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