matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenAnalysis des R1Taylor
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Analysis des R1" - Taylor
Taylor < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Taylor: Konvergenz und Entwicklung
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:06 Mi 07.12.2016
Autor: High_Elo_Theorie

Aufgabe
Aufgabe E:
Bestimmen Sie zu a [mm] \in \IC \setminus \{0\} [/mm] den größten Radius R [mm] \in (0|\infty) \cup \{\infty\} [/mm] für den sich die Abbildung [mm] u:\IR \to \IC [/mm] definiert durch

[mm] u(t)=\begin{cases} \bruch{1-e^{-t}}{t} & \mbox{für } t \not= \mbox{0} \\ 1 & \mbox{für } t = \mbox{0}(sonst) \end{cases} [/mm] (t [mm] \in \IR) [/mm]

auf [mm] (-\IR|\IR) [/mm] durch eine konvergente Taylorreihe mit Entwicklungspunkt Null darstellen läßt und geben Sie die Taylorentwicklung explizit an!

Begründen Sie, dass im Falle der Zulässigkeit von [mm] \sigma [/mm] * u die Laplace-Transformierte U := [mm] L(\sigma [/mm] * u) für se [mm] \in \IC, [/mm] Re(s) > 1 in Gestalt der nachstehenden konvergenten Reihe dargestellt werden kann:
U(s) = [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k} [/mm] * [mm] \bruch{1}{s^k} [/mm]

Hinweis: Verwenden Sie bei der Begründung der Konvergenz die nach Vorlesung bekannte konvergente Potenzreihe

F(z) := [mm] -\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{z^{k}}{k} [/mm] (z [mm] \in \IC, [/mm] |z|<1)

sowie die Feststellung, dass offenbar U(s) = [mm] F(\bruch{-1}{s}) [/mm] gilt !

Lösungsweg:

für z [mm] \in \IR [/mm] gilt [mm] e^{z} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty} \bruch{z^{k}}{k!} [/mm]

damit gilt

[mm] \bruch{1-e^{-t}}{t} [/mm] = u(t) = [mm] \bruch{1}{t} [/mm] * (1 - [mm] \underbrace{\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(-t)^{k}}{k!}}_{=\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{k!} * t^{k}}) [/mm]

... = [mm] \bruch{1}{t} [/mm] (1 + ( - 1 - [mm] \underbrace{\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{k!} * t^{k}}_{\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k!} * t^{k}})) [/mm] <- vgl. Aufgabenstellung

[mm] =\bruch{1}{t}\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k!} [/mm] * [mm] t^{k} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k!} [/mm] * [mm] t^{k-1} [/mm]

= [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k} [/mm] * [mm] \bruch{t^{k-1}}{(k-1)!}*e^{-0*t} [/mm]

U(s) = [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k} [/mm] * [mm] \bruch{1}{(s + 0)^{k}} [/mm]

= [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k} [/mm] * [mm] \bruch{1}{s^{k}} [/mm] (vgl. Aufgabe)

Konvergenz

F(z) = [mm] -\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{z^{k}}{k} [/mm] = [mm] -\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{k} [/mm] * [mm] \bruch{1}{s^{k}} [/mm]  <- z = [mm] \bruch{-1}{s} [/mm]

= [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k} [/mm] * [mm] \bruch{1}{s^{k}} [/mm] = U(s)   passt !

Randbed |z| < 1

[mm] |\bruch{-1}{s}| [/mm] = [mm] \bruch{|-1|}{|s|} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{Re^{2}(s) + Im^{2}(s)}} [/mm] < 1  <- Re(s) > 1


Zu meine/n Frage/n:
1)
Zuerst wie kommt der jenige auf 1 +  - 1 ?
Es hat etwas mit der Reihe zu tun denke ich da jetzt k = 1 ist und nicht wie davor k = 0 aber was passiert in dieser Zeile ?

2)
Woher kommt das [mm] e^{-0t} [/mm] her und was ist mit der Fakultät im Nenner passiert. Davor k! jetzt (k-1)!

3)
Ich weiss das ich den Teil rechts vom mal Zeichen der Reihe in die Form [mm] \bruch{1}{s} [/mm] bringen muss aber woher das es genau das jetzt gilt ?
Wieder in Zusammenhang mit dem [mm] e^{-0*t} [/mm]

4)
Woher weiss ich denn das es konvergiert und nicht divergiert und was sagt die Randbed hier aus die Re(s) > 1 ?

Danke für eure Mühe :)

        
Bezug
Taylor: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Sa 10.12.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]